Pochodna

[patryk00714]

Jak obliczyć pochodną \(f(x)=\sqrt[3]{\frac{1}{1+x^2}}\)

wiem, że należy skorzystać ze wzoru \(f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)\) oraz wiem, że to funkcja złożona z funkcji \(\sqrt[3]{z}\)
\(z=\frac{1}{1+x^2}\), lecz mam problem z obliczeniem pierwszej pochodnej ze wzoru.

[octahedron]

\((\sqrt[3]{z})'=(z^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3}z^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{z^2}}\)

[patryk00714]

tzn mam problem z tą pochodną \(f'(g(x))\)

[radagast]

\(\left(f(x) \right)' = \left( \sqrt[3]{\frac{1}{1+x^2}}\right)' = \left( \left( \frac{1}{1+x^2}\right)^{ \frac{1}{3}} \right)'= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1+x^2}\right)^{- \frac{2}{3}} \cdot \left( \frac{1}{1+x^2}\right)'\)

[patryk00714]

ahh czyli argument\({\frac{1}{1+x^2}}\) mogę potraktować tak jak by to było pewne \(a\) i podstawić do wzoru \((a^n)'\)?

[radagast]

dokładnie tak , tylko pamiętaj , że to też trzeba zróżniczkować ("razy pochodna funkcji wewnętrznej")

[Galen]

\(f(x)=\frac{1}{ \sqrt[3]{1+x^2}}=(1+x^2)^{- \frac{1}{3}}\)
\(f'(x)=- \frac{1}{3} \cdot (1+x^2)^{- \frac{4}{3}} \cdot 2x=- \frac{2x}{3 \sqrt[3]{(1+x^2)^4} }\)

[radagast]

o tak, tak prościej !

[patryk00714]

tak, tak to wiem dziękuje bardzo! Już wszystko jasne