2 Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregu:

[suspicious20]

Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów:
1. \(\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{3^{2n} \sqrt{n} }{2^n \sqrt[3]{n} } \cdot x^n\)
Odp.: \(x \in ( - \frac{2}{9} ; \frac{2}{9} )\)
2. \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^n}{3 \sqrt[4]{n} } \cdot x^n\)
Odp.: \(x \in [- \frac{1}{2} ;\frac{1}{2})\)

[octahedron]

1.
\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{3^{2n}\sqrt{n}}{2^n\sqrt[3]{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{3^2}{2}\sqrt[n]{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt[3]{n}}}=\frac{9}{2}\cdot 1=\frac{9}{2}
x=\frac{2}{9}\ :
\frac{3^{2n} \sqrt{n} }{2^n \sqrt[3]{n} } \cdot x^n=\frac{\sqrt{n} }{\sqrt[3]{n} }=\sqrt[6]{n}\text{ rozbie\dot{z}ny}
x=-\frac{2}{9}\ :
\frac{3^{2n} \sqrt{n} }{2^n \sqrt[3]{n} } \cdot x^n=(-1)^n\frac{\sqrt{n} }{\sqrt[3]{n} }=(-1)^n\sqrt[6]{n}\text{ rozbie\dot{z}ny}
x\in\(-\frac{2}{9};\frac{2}{9}\)\)

[octahedron]

2.
\(\lim_{ n\to\infty }\sqrt[n]{\frac{2^n}{3 \sqrt[4]{n} }}=\lim_{ n\to\infty }\frac{2}{\sqrt[n]{3}\sqrt[4]{\sqrt[n]{n}}}=\frac{2}{1}=2
x=\frac{1}{2}\ :
\frac{2^n}{3 \sqrt[4]{n} }\cdot x^n=\frac{1}{3\sqrt[4]{n}}>\frac{1}{3n}\text{ rozbie\dot{z}ny}
x=-\frac{1}{2}\ :
\frac{2^n}{3 \sqrt[4]{n} }\cdot x^n=(-1)^n\frac{1}{3\sqrt[4]{n}}
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3\sqrt[4]{n}}=0
\frac{1}{3\sqrt[4]{n}}>\frac{1}{3\sqrt[4]{n+1}}
\text{szereg zbie\dot{z}ny na podstawie kryterium Leibniza}
x\in\[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\)\)