kryterium Leibniza, sprawdź szeregi

[majka92]

Korzystając z kryterium Leibniza, sprawdź, że następujące szeregi są zbieżne:

\(\sum_{ \infty }^{n=1} (-1)^n \frac{1}{3n}\)

\(\sum_{ \infty }^{n=1}(-1)^n \frac{n+1}{n^2+2}\)

[alexx17]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{1}{3n}\\ \lim_{n \to \infty } a_n=\lim_{n \to \infty } \frac{1}{3n}=0\\\)

\(\frac{1}{3n } \ge \frac{1}{3n+3} \\..\\..\\.. \\n^2+n \ge 0\\n(n+1) \ge 0\)

\(a_n\) jest nierosnący. W szeregu występują na przemian wyrazy dodatnie i ujemne co jest oczywiste. Więc na podstawie kryterium Leibniza jest zbieżny.

[alexx17]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n \frac{n+1}{n^2+2}\\ \lim_{n \to \infty } a_n=\lim_{n \to \infty } \frac{n+1}{n^2+2}= \frac{n(1+ \frac{1}{n} )}{n^2(1+ \frac{2}{n^2}) } \to 0 \\\)

\(\frac{n+1}{n^2+2 } \ge \frac{n+2}{(n+1)^2+2} \\..\\..\\.. \\n(n+3) \ge 1\)

I to samo. Jest nierosnący i ma wyrazy na przemian dodatnie i ujemne. Więc jest zbieżny.

[alexx17]

Oczywiście trzeba te nierówności do końca rozwiązać, jeżeli ma to być kompletny dowód. Mi się nie chciało. Wychodzi, że w obu przypadkach nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej.