zbadać zbieżność szeregu

[suspicious20]

\(\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{sin n!}{n^2}\)

skorzystałem z tego :
\(\lim_{x\to 0 } \frac{sin n!}{n!} =1\)
i doprowadzilem do :
\(\frac{n!}{2n^2} <\frac{sin n!}{n^2}\)
i teraz chcialem z d'alemberta:
\(\lim_{x\to \infty } \frac{(n+1)!}{2(n+1)^2} \cdot \frac{2n^2}{n!} = \infty\)
i teraz juz nie wiem co dalej. jak z tego wybrnąć?
odp : szereg zbieżny

[radagast]

Najprościej to z porównawczego :
\(\left|\frac{sin n!}{n^2} \right| \le \frac{1}{n^2}\)


\(\sum_{}^{} \frac{1}{n^2}\) -zieżny
zatem
\(\sum_{}^{} \frac{sin n!}{n^2}\) - też zbieżny

[suspicious20]

czyli to wszytko co robilem wczesniej jest niepotrzebne ? i wystarczy wyjsc od tej nierówności :
\(\left|\frac{sin n!}{n^2} \right| \le \frac{1}{n^2}\)
\(-\frac{1}{n^2} \le \frac{sin n!}{n^2} \le \frac{1}{n^2}\)
i wtedy biore pod uwage tylko to co z prawej strony w sumie z lewej jakbytm wygiagnąć przed szereg minus jeden towyszloby to samo. czyli juz moge dac komentarz ze to z harmonicznego tak jest, tak ?

[radagast]

Tak, tylko on sie nie nazywa harmoniczny. Harmoniczny to taki : \(\sum_{}^{} \frac{1}{n}\) i on jest rozbieżny .

[suspicious20]

no dobra rozumiem. to jaki komentarz będzie lepszy ?
bo ja zawsze pisalem tak : ze tez szereg jest zbiezny jako szereg harmoniczny gdzie \(\alpha = 2 > 1\)zatem szereg zbieżny. czy to jest dobry komentarz ?

[alexx17]

No, ale przecież harmoniczny jest rozbieżny, więc dzięki niemu możesz uzasadnić co najwyżej rozbieżność. U mnie stosuje się tylko zwykłe słówko "zatem". Po co kombinować z wyjaśnieniami jak można zrobić jeszcze głupi błąd i co? Lipa.

[suspicious20]

a ja musze miec uzasadnione na egzaminiei zwykłe słówko zatem nie wystarczy bo musze sie powolac na jakies twierdzenie albo inny aksjomat...

[radagast]

No to powołuj kryterium porównawcze i zbieżność szeregu \(\sum_{}^{} \frac{1}{n^2}\) (dokładnie tak jak w moim pierwszym poście)