równanie z parametrem

[szatek]

zbadaj liczbę rozwiązań równania \((2m-1)x^2-(3m-2)x+m-1=0\) w zależności od parametru m.

[sarni20]

Zadanie może mieć dwa, jedno lub brak rozwiązań rzeczywistych.
\(2 rozw \Leftrightarrow
\Delta >0
2m-1\neq0
\Delta=(-3m+2)^2-4((2m-1)(m-1))=m^2
m^2>0 \wedge m\neq \frac{1}{2}\)
równanie ma 2 rozwiązania rzeczywiste dla
\(m\in(-\infty;0) \cup (0; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2};+\infty)\)
równanie ma jedno rozwiązanie:
\(\Delta=0 \vee 2m-1=0
m=0 \vee m= \frac{1}{2}\)
trzecia opcja, czyli brak rozwiązań rzeczywistych w tym przypadku jest niemozliwa, ponieważ delta jest równa \(m^2\) a ta liczba jest nieujemna.

[Galen]

\(m=\frac{1}{2}\) równanie jest liniowe i ma jedno rozwiązanie.

\(m \neq \frac{1}{2}\) liczba rozwiązań zależy od \(\Delta\) :
\(\Delta=9m^2-12m+4-8m^2-12m-4=m^2\)
\(\Delta =0\;\;dla\;\;m=0\)
Dla \(m=\frac{1}{2} \;\;oraz\;\;m=0\) równanie ma jedno rozwiązanie.
Dla \(m \in R \setminus \left\{ 0; \frac{1}{2} \right\}\) ma dwa rozwiązania.