geometria - zadanie z puszkami

Olela · Post autor: **Olela** » 02 cze 2009, 14:14

puszki farby w ksztalcie walca (rysunek obok) przechowywano w szesciennym kartonie o krawedzi 90 cm. Ile puszek zmiescilo sie w kartonie? Puszka ma podstawę o promieniu 15 cm a wysokość 40 cm . Wiem ze w kartonie zmiesci sie 18 puszek ale nie wiem jak to zapisac.

jola · Post autor: **jola** » 02 cze 2009, 15:05

Na dnie kartonu można ustawić 9 puszek, bo suma średnic 3 pudełek jest równa 90 cm. Jeżeli ustwimy pudełko na pudełku, to ich wysokość jest równa 80 cm. Wysokość 3 pudełek ustawionych jedno na drugim, jest równa 120 cm, czyli przekroczy wysokość kartonu. Wniosek stąd, że w kartonie zmieszczą się 2 warstwy po 9 puszek,czyli 18 puszek.

Olela · Post autor: **Olela** » 02 cze 2009, 15:11

dzieki

chyba nie da sie jakos inaczej tego uzasadnic .

escher · Post autor: **escher** » 02 cze 2009, 20:04

W pudle zmieści się także więcej puszek.
Trzeba tylko sprytniej pakować.
Porównajcie hexagonal packing stąd http://mathworld.wolfram.com/CirclePacking.html.
Jeśli położymy najpierw 6 puszek, ale powierzchnią boczną na podstawie sześcianu. Potem warstwę czterech puszek w powstałych zagnieżdżeniach i jeszcze raz to samo tj. warstwę 6 puszek i warstwę czterech puszek, to wysokość tego będzie wynosić (zastosowanie tw. Pitagorasa) \(2\cdot 15+3\cdot 15\cdot\sqrt{3} <80\).
Zatem zmieścimy nawet 20 puszek.
Dowód, że więcej się nie da nawet, jeśli możliwy, to trudny (nie tylko dla gimnazjalistów), bo objętość kilku puszek ciągle się "marnuje" w pustej przestrzeni.

escher

jola · Post autor: **jola** » 02 cze 2009, 20:11

Olela, jaki jest rysunek do tego zadania?