układy równań

[katla]

a)\(\begin{cases} 4x^3-4x+4y=0 \\ 4y^3+4x-4y=0 \end{cases}\)

b)\(\begin{cases} 9x^2+6xy-15=0 \\ 3x^2-3y^2=0 \end{cases}\)

[Galen]

Dodaj stronami oba równania układu:

a)Dodaj stronami oba równania:
\(4x^3+4y^3=0\;/:4
x^3+y^3=0\\
y^3=-x^3\\
y=-x\)
Podstaw:
\(4x^3-4x-4x=0\;\;\;\;i\;\;\;\;-4x^3+4x+4x=0\)
W obu podstawieniach jest tak samo:
\(4x^3-8x=0\\
4x(x^2-2)=0\\
4x(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})=0
x=0\;\;i\;\;\;y=0\\
lub\\
x=-\sqrt{2}\;\;\;i\;\;\;y=\sqrt{2}\\
lub\\
x=\sqrt{2}\;\;\;i\;\;\;y=-\sqrt{2}\)

[katla]

Dzięki. A podpunkt b ?

[Murarz]

a)
\(\begin{cases} x^3-x+y=0\\
y^3+x-y=0\\
\end{cases} \\
y=x-x^3\\
(x-x^3)^3+x-x+x^3=0\\
x^3+(x-x^3)^3=0\\
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\
x^3+(x-x^3)^3=(x+x-x^3)(x^2-x(x-x^3)+(x-x^3)^2)=x(2-x^2)(x^6-x^4+x^2)=\\
=-x^3(x^4-x^2+1)(x-\sqr2)(x+\sqrt2)\\
-x^3(x^4-x^2+1)(x-\sqr2)(x+\sqrt2)=0\\
x=0 \vee x=\sqrt2 \vee x=-\sqrt2\\
y=x(1-x^2)=-x(x^2-1)\)
Dla x=0 y=0
Dla \(x=\sqrt2\) \(y=-\sqrt2\)
Dla \(x=-\sqrt2\) \(y=\sqrt2\)

[Galen]

2)
Drugie równanie układu ma postać:
\(x^2-y^2=0\)
i przedstawia dwie proste:
\(y=x\;\;\;\;\;oraz\;\;\;\;\;y=-x\)
Podstaw do pierwszego równania każdą z tych opcji:
\(\{y=x\\9x^2+6xy-15=0\;/:3\)
\(3x^2+2x^2-5=0\\
5x^2=5\\
x^2=1\;\; \Rightarrow \;\;x=1\;\;i\;\;y=1\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;x=-1\;\;i\;\;y=-1\)

\(\{y=-x\\3x^2+2xy-5=0\)
\(3x^2-2x^2-5=0\\
x^2=5\\
x= \sqrt{5}\;\;i\;\;y=- \sqrt{5}\\
lub\\
x=- \sqrt{5} \;\;i\;\;y= \sqrt{5}\)

[Murarz]

b)
\(\begin{cases}
3x^2+2xy-5=0\\
x^2-y^2=0\\
\end{cases}\\
x^2=y^2\\
x=y \vee x=-y\\
x=y\\
3x^2+2x^2-5=0\\
x=1 \wedge y=1\vee x=-1 \wedge y=-1\\
x=-y\\
3x^2-2x^2-5=0\\
x^2=5\\
x=\sqrt5 \wedge y=-\sqrt5 \vee x=-\sqrt5 \wedge y=\sqrt5\)