Objętość ostrosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
patrycjaa_93
- Rozkręcam się
- Posty: 67
- Rejestracja: 28 kwie 2011, 18:55
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
Objętość ostrosłupa
Podstawą ostrosłupa jest trapez równoramienny o kącie ostrym (alfa), w ktrórym ramię i krótsza podstawa ma długość a. Każda krawędz boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt (beta). Oblicz objętość tego ostrosłupa
h- wysokość trapezu
p- przekątna trapezu
R- promień okręgu opisanego na trapezie
x- część dłuższej podstawy trapezu "odcięta" wysokością poprowadzoną z końca krótszej podstawy
b- dłuższa podstawa trapezu
\(\frac{h}{a}=sin\alpha\\h=a sin\alpha\)
\(\frac{x}{a}=cos\alpha\\x=a cos\alpha\)
\(b=a+2a cos\alpha\)
Przekątna trapezu z jednym z ramion i krótszą podstawą tworzą trójkąt równoramienny.
Z twierdzenia cosinusów:
\(p^2=a^2+a^2-2a^2 cos(180^0-\alpha)\\p^2=2a^2-2a^2\cdot(-cos\alpha)=a^2(2+2cos\alpha)\\p=a\sqrt{2+2cos\alpha}\)
Okrąg opisany na trójkącie, z którego korzystałam powyżej to okrąg opisany na trapezie
\(\frac{p}{sin(180^0-\alpha)}=2R\\frac{a\sqrt{2+2cos\alpha}}{sin\alpha}=2R\\R=\frac{a\sqrt{2+2cos\alpha}}{2sin\alpha}\)
Jeśli wszystkie krawędzie boczne tworzą jednakowy kąt z podstawą ostrosłupa, to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.
H- wysokość ostosłupa
\(\frac{H}{R}=tg\beta\\H=\frac{a\sqrt{2+2cos\alpha}}{2sin\alpha}\cdot tg\alpha\)
\(P_p=\frac{a+a+2a cos\alpha}{2}\cdot a sin\alpha=a^2 sin\alpha(1+cos\alpha)\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot a^2 sin\alpha(1+cos\alpha)\cdot\frac{a\sqrt{2+2cos\alpha}tg\alpha}{2sin\alpha}=\frac{a^3 tg\alpha\sqrt{2+2cos\alpha}(1+cos\alpha)}{6}\)
p- przekątna trapezu
R- promień okręgu opisanego na trapezie
x- część dłuższej podstawy trapezu "odcięta" wysokością poprowadzoną z końca krótszej podstawy
b- dłuższa podstawa trapezu
\(\frac{h}{a}=sin\alpha\\h=a sin\alpha\)
\(\frac{x}{a}=cos\alpha\\x=a cos\alpha\)
\(b=a+2a cos\alpha\)
Przekątna trapezu z jednym z ramion i krótszą podstawą tworzą trójkąt równoramienny.
Z twierdzenia cosinusów:
\(p^2=a^2+a^2-2a^2 cos(180^0-\alpha)\\p^2=2a^2-2a^2\cdot(-cos\alpha)=a^2(2+2cos\alpha)\\p=a\sqrt{2+2cos\alpha}\)
Okrąg opisany na trójkącie, z którego korzystałam powyżej to okrąg opisany na trapezie
\(\frac{p}{sin(180^0-\alpha)}=2R\\frac{a\sqrt{2+2cos\alpha}}{sin\alpha}=2R\\R=\frac{a\sqrt{2+2cos\alpha}}{2sin\alpha}\)
Jeśli wszystkie krawędzie boczne tworzą jednakowy kąt z podstawą ostrosłupa, to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.
H- wysokość ostosłupa
\(\frac{H}{R}=tg\beta\\H=\frac{a\sqrt{2+2cos\alpha}}{2sin\alpha}\cdot tg\alpha\)
\(P_p=\frac{a+a+2a cos\alpha}{2}\cdot a sin\alpha=a^2 sin\alpha(1+cos\alpha)\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot a^2 sin\alpha(1+cos\alpha)\cdot\frac{a\sqrt{2+2cos\alpha}tg\alpha}{2sin\alpha}=\frac{a^3 tg\alpha\sqrt{2+2cos\alpha}(1+cos\alpha)}{6}\)
Re: Objętość ostrosłupa
Powinno być
\(\frac{H}{R}=tg\beta\\H=\frac{a\sqrt{2+2cos\alpha}}{2sin\alpha}\cdot tg\beta\)