Trapez w kole

[dOmii 189]

W koło o promieniu długości R wpisano trapez o największym polu tak, że jego podstawa jest średnicą okręgu. Jakie są długości boków tego trapezu?

[anka]

11.png (16.63 KiB) Przejrzano 1259 razy

Z podobieństwa trójkątów ABC i EBC wyznaczasz \(c\)
Z Pitagorasa dla trójkąta EBC wyznaczasz \(h\)
Pole i szukasz maksimum tego pola

[dOmii 189]

dzieki:)

[patryks]

może to ktoś policzyć bo nie za bardzo kumam ;/

[Galen]

Dobrze,że masz już rysunek,bo łatwo się będzie zrozumieć
Trójkąty AEC i BEC są podobne do ABC,zatem są podobne między sobą.
Stąd masz proporcję:
\(\frac{CE}{AE}= \frac{BE}{CE}\)
Oznaczenia:
|AB|=a=2R
|CD|=b=2R-2x
|BE|=x
|AE|=2R-x
|CE|=h
\(\frac{h}{2R-x}= \frac{x}{h}\;\;\;\; \Rightarrow \;\;h^2=x(2R-x)\;\;\; \Rightarrow \;\;\;h= \sqrt{x(2R-x)}\)
\(P= \frac{1}{2}(a+b)h= \frac{1}{2}(2R+2R-2x) \cdot \sqrt{x(2R-x)}\)
Jak widać pole jest funkcją argumentu x i jej dziedzina to
\(D=(0;R)\\
P(x)=(2R-x) \sqrt{2Rx-x^2}\)
Trzeba obliczyć pochodną funkcji i wyznaczyć maksimum P(x).
\(P'(x)=-1 \sqrt{2Rx-x^2}+ \frac{(2R-x)(2R-2x)}{2 \sqrt{2Rx-x^2} }\)
Sprowadź do wspólnego mianownika ,wykonaj mnożenia,zredukuj wyrazy podobne i otrzymasz:
\(P'(x)= \frac{4x^2-10Rx+4R^2}{2 \sqrt{2Rx-x^2} }= \frac{2x^2-5Rx+2R^2}{ \sqrt{2Rx-x^2} }\\
P'(x)=0\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;2x^2-5Rx+2R^2=0\\
\Delta =9R^2\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\; \sqrt{ \Delta }=3R\\
x_1= \frac{5R-3R}{4}= \frac{1}{2}R \in D\\
x_2=R \notin D\)
Przy przejściu przez x=0,5R pochodna zmienia znak z + na - ,a to oznacza,że funkcja P(x) osiąga maksimum.
Boki to już policzysz,korzystając z rysunku.
a=2R
b=R
c=R
Wcześniej oblicz h.