Prawdopodobieństwo
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 40
- Rejestracja: 08 cze 2010, 23:34
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 9 razy
Prawdopodobieństwo
Zbiór A={1,2,3,...,4n} podzielono w sposób losowy na dwa równoliczne podzbiory. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w obu zbiorach jest tyle samo liczb podzielnych przez n.
- ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
W każdym z podzbiorów mamy po 2n liczb, czyli do pierwszego podzbioru losujemy 2n z 4n liczb, a pozostałe wrzucały do drugiego podzbioru, stąd: \(\overline{\overline{\Omega}}={4n \choose 2n}.\)
Liczby podzielne n ze zbioru A, to: n, 2n, 3n i 4n, zatem mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie z nich są w pierwszym podzbiorze, a drugie dwie w drugim podzbiorze, czyli do pierwszego podzbioru musimy wylosować 2 z 4 liczb oraz (2n-2) z (4n-4)liczb, stąd: \(\overline{\overline{Z}}={4 \choose 2}\cdot {4n-4 \choose 2n-2}.\)
Zatem \(P(Z)=\frac{{4 \choose 2}\cdot {4n-4 \choose 2n-2}}{{4n \choose 2n}}=\frac{6\cdot \frac{(4n-4)!}{(2n-2)!\cdot (4n-4-2n+2)!}}{\frac{(4n)!}{(2n)!\cdot(2n)!}}=6\cdot \frac{(4n-4)!\cdot(2n)!\cdot (2n)!}{(4n)!\cdot (2n-2)!\cdot (2n-2)!}=6\cdot \frac{2n\cdot(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n-1)}{4n\cdot(4n-1)\cdot(4n-2)\cdot(4n-3)}=\\
= \frac{6n(2n-1)^2}{(4n-1)(4n-2)(4n-3)}\)
możliwe, że da się to jeszcze uprościć...
Liczby podzielne n ze zbioru A, to: n, 2n, 3n i 4n, zatem mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie z nich są w pierwszym podzbiorze, a drugie dwie w drugim podzbiorze, czyli do pierwszego podzbioru musimy wylosować 2 z 4 liczb oraz (2n-2) z (4n-4)liczb, stąd: \(\overline{\overline{Z}}={4 \choose 2}\cdot {4n-4 \choose 2n-2}.\)
Zatem \(P(Z)=\frac{{4 \choose 2}\cdot {4n-4 \choose 2n-2}}{{4n \choose 2n}}=\frac{6\cdot \frac{(4n-4)!}{(2n-2)!\cdot (4n-4-2n+2)!}}{\frac{(4n)!}{(2n)!\cdot(2n)!}}=6\cdot \frac{(4n-4)!\cdot(2n)!\cdot (2n)!}{(4n)!\cdot (2n-2)!\cdot (2n-2)!}=6\cdot \frac{2n\cdot(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n-1)}{4n\cdot(4n-1)\cdot(4n-2)\cdot(4n-3)}=\\
= \frac{6n(2n-1)^2}{(4n-1)(4n-2)(4n-3)}\)
możliwe, że da się to jeszcze uprościć...