przebieg zmienności funkcji

[Wiktoriiia]

Proszę o sprawdzenie bo coś robię źle bo nie wychodzi mi jak w odpowiedziach

\(a) f(x)= \frac{2}{1+3e^{-2x}}\)

Etap I

1) \(D_f : x \in R\) 2) miejsca zerowe - brak 3) OY \(f(0)= \frac{2}{1+3e^{-2 \cdot 0}}= \frac{2}{1+3}= \frac{1}{2}\)

Etap II Asymptoty
1.pozioma
\(\lim_{x\to + \infty } \frac{2}{1+3e^{-2x}}= \lim_{x\to + \infty } \frac{2}{1+3 ( \frac{1}{e} )^{2 \cdot +\infty }} = \frac{2}{1+0}=2\)

\(\lim_{x\to - \infty } \frac{2}{1+3e^{-2x}}= \lim_{x\to - \infty } \frac{2}{1+ 3 (e)^{-2 \cdot - \infty }}=0\)
2.Pionowa brak
3.Ukośna brak

Etap III Analiza pochodnych
1. Pierwsza pochodna

\(f'(x)= (\frac{2}{1+3e^{-2x}})'= \frac{-2 \cdot 3e^{-2x} \cdot (-2)}{(1+3e^{-2x})^2}= \frac{12e^{-2x}}{(1+3e^{-2x})^2}\)

\(f'(x)=0\) brak miejsc zerowych
\(f'(x)>0 \Leftrightarrow x \in R\)

2. Wklęsłość, wypukłość

\(f''(x)=(\frac{12e^{-2x}}{(1+3e^{-2x})^2})'\) i to mi źle wychodzi bo potem powinno wyjść miejsce zerowe
\(x= \frac{ln6}{2}\)
Proszę bardzo o pomoc..

[ewelawwy]

a skąd takie miejsce zerowe? ono jest złe
\(f''(x)=\left(\frac{12e^{-2x}}{(1+3e^{-2x})^2}\right)'=\left(\frac{12e^{2x}}{(e^{2x}+3)^2}\right)'=\frac{12e^{2x}\cdot 2\cdot (e^{2x}+3)^2-12e^{2x}\cdot 2(e^{2x}+3)\cdot2e^{2x}}{(e^{2x}+3)^4}=\\
=\frac{(e^{2x}+3)(24e^2x(e^{2x}+3)-48e^{4x})}{(e^{2x}+3)^4}=\frac{24e^{4x}+72e^{2x}-48e^{4x}}{(e^{2x}+3)^3}=\frac{72e^{2x}-24e^{4x}}{(e^{2x}+3)^3}
f''(x)=0\; \Leftrightarrow \; 72e^{2x}-24e^{4x}=0\\
3e^{2x}-e^{4x}=0\\
e^{2x}=t,\; t>0\\
3t-t^2=0\\
t(3-t)=0\\
t=0 \; -sprz. \; \vee \; t=3\\
e^{2x}=3\\
2x=\ln 3\\
x=\frac{\ln 3}{2}\)

http://www3.wolframalpha.com/input/?i=+(2/(1%2B3e^(-2x)))''%3D0

[Wiktoriiia]

W odpowiedziach takie jest..
Kilka razy liczyłam i mi nie wychodzi jak w odpowiedziach. No ale zawsze odpowiedź się zgadzała...

[ewelawwy]

czasem odpowiedzi są błędne...
jeśli ja się pomyliłam, to i Wolfram musiałby się mylić - a z tym drugim się jeszcze nie spotkałam...
może ktoś zweryfikuje..........?

[Wiktoriiia]

Dziękuję... Pewnie jest w błąd w odpowiedziach bo liczyłam kilka razy i wychodził mi taki sam wynik jak Tobie:)

[Wiktoriiia]

Dziękuję... Pewnie jest w błąd w odpowiedziach bo liczyłam kilka razy i wychodził mi taki sam wynik jak Tobie:)