Funkcja logarytmiczna

[Januszgolenia]

Funkcja \(g(x)=\log({x+\sqrt{1+x^2}})\) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Funkcja g:
A. dla argumentu \(x=\frac{99}{20}\) przyjmuje wartość 1
B. przyjmuje wartości ujemne
C. jest różnowartościowa
D. przyjmuje wartość 0

Uzasadnij udzielone odpowiedzi

Odpowiedzi wydawnictwa AKSJOMAT
A. TAK
B. TAK
C.TAK
D. TAK

[irena]

A.
\(log(x+\sqrt{1+x^2})=1\\x+\sqrt{1+x^2}=10\\\sqrt{1+x^2}=10-x\\1+x^2=100-20x+x^2\\20x=99\\x=\frac{99}{20}\)

TAK

B.
\(log(x+\sqrt{1+x^2})<0\\x+\sqrt{1+x^2}<1\\1+x^2<(1-x)^2\\1+x^2<1-2x+x^2\\2x<0\\x<0\)

Na przykład dla x=-5:
\(-5+\sqrt{1+25}=\sqrt{26}-5\\0<\sqrt{26}-5<1\\log(\sqrt{26}-5)<0\)

TAK

D.
Dla x=0
\(log(0+\sqrt{1+0})=log1=0\)

[irena]

C.
Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
Niech
\(x+\sqrt{1+x^2}=y+\sqrt{1+y^2}=a\\a>x\ \wedge\ a>y\\1+x^2=a-x\\1+y^2=a-y\\1+x^2=a^2-2ax+x^2\\1+y^2=a^2-2ay+y^2\\x=\frac{a^2-1}{2a}\\y=\frac{a^2-1}{2a}\\x=y\)

TAK

[Januszgolenia]

a nie powinno być \(\log({x + \sqrt{1+x^2}}) = \log({y+\sqrt{1+y^2}})= \log{a}\)

[irena]

No, tak. Bo funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa i wystarczyło pokazać różnowartościowość funkcji wewnętrznej.
Powinno być:
\(x^2+\sqrt{1+x^2}=y+\sqrt{1+y^2}=a\)
Poprawiłam