Relacja Równoważności cd ..

[Robson1416]

Mam jeszcze problem z takim zadaniem z relacji równowazności tj:

\((a,b) \approx (c,d) \leftarrow\rightarrow 2 |(a+c) \wedge 2|(a+b+c+d)\) dla \((a,b), (c,d) \in Z^{2}\)


a)Udowodnij, że \(\approx\) jest relacją równoważności na \(Z^{2}\)


b) Znajdź \(Z^{2} / \approx\)

[escher]

Można definicję przekształcić do równoważnej formy
\(2|(a+c)\wedge 2|(b+d)\), a to oznacza, że piewsze i drugie współrzędne są tej samej parzystości.

Podzielenie przez tą relację da nam cztery klasy "parzystości", które mają reprezentantów
\((0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\) i działania na nich są po porstu działaniami modulo 2. czyli ten iloraz to
\(Z_2\times Z_2\)

escher

[Robson1416]

Można definicję przekształcić do równoważnej formy
\(2|(a+c)\wedge 2|(b+d)\), a to oznacza, że piewsze i drugie współrzędne są tej samej parzystości.

Podzielenie przez tą relację da nam cztery klasy "parzystości", które mają reprezentantów
\((0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\) i działania na nich są po porstu działaniami modulo 2. czyli ten iloraz to
\(Z_2\times Z_2\)

escher

Tak pierwszą część rozumiem, a moge prosić o dokładniejsze wytłumaczenie części drugiej czyli skąd wiem, że będą 4 klasy "parzystości" i jak wyznaczymy reprezentantów ?

I mam pytanie w jaki sposób tutaj wyznaczyć zwrotność, bo nie mam pomysłu...

[irena]

Zwrotność:
\((a,\ b)\approx(a,\ b)\), ponieważ dla każdych całkowitych liczb a i b zachodzi:
\(2|(a+a)\ \wedge\ 2|(a+a+b+b)\)

[irena]

Para (a, b) jest w relacji z parą (c, d), jeśli a i c oraz b i d dają w dzieleniu przez 2 te same reszty.
Klasy abstrakcji wyznaczone są przez 4 pary:
1)
(liczba parzysta, liczba parzysta)

2)
(liczba parzysta, liczba nieparzysta)

3)
(liczba nieparzysta, liczba parzysta)

4)
(liczba nieparzysta, liczba nieparzysta)

[Robson1416]

\((a,b) \approx (c,d) \leftarrow\rightarrow 2a + 2b = 2x + 2y\) dla \((a,b), (c,d) \in Z^{2}\)

Kompletnie nie wiem jak się zabrać za sprawdzenie. Może ktoś pokazać zwrotność, przechodniość i symetryczność ?

[irena]

Sprawdź, jak opisałeś relację. Czy nie powinno być:
\((a,b)\approx(c,d) \Leftrightarrow 2a+2b=2c+2d\) ??

Jeśli tak, to:
1)
\(2a+2b=2a+2b\), czyli \((a,b)\in\ Z^2\ \Rightarrow \ (a,b)\approx(a,b)\)

2)
\(2a+2b=2c+2d\ \Rightarrow 2c+2d=2a+2b\), czyli \([(a,b)\approx(c,d)]\ \Rightarrow [(c,d)\approx(a,b)]\)

3)
\([2a+2b=2c+2d\ \wedge\ 2c+2d=2e+2f]\ \Rightarrow \ [2a+2b=2e+2f]\)
czyli \([(a,b)\approx(c,d)\ \wedge\ (c,d)\approx(e,f)]\ \Rightarrow \ (a,b)\approx(e,f)\)

[Robson1416]

Oczywiście tak powinno być.

a czy klasy abstrakcji będą tak: ?


\(A = \left\{(a,b)\in (Z \setminus \left\{0 \right\})^{2}; a,b \in Z_+ \right\}\)
\(B = \left\{(a,b)\in (Z \setminus \left\{0 \right\})^{2}; a,b \in Z_- \right\}\)
\(C = \left\{(a,b)\in (Z \setminus \left\{0 \right\})^{2}; a \in Z_+; b \in Z_- \right\}\)
\(D = \left\{(a,b)\in (Z \setminus \left\{0 \right\})^{2}; a \in Z_-; b \in Z_+ \right\}\)

[irena]

Klasy abstrakcji to zbiory wyznaczone przez zbiór liczb całkowitych.
Na przykład para (3,4) należy do klasy abstrakcji wyznaczonej przez liczbę 7. Para (3,4) jest w relacji z każdą parą, w której suma liczb jest równa 7.
\(Z^2/\approx=Z\)

[Robson1416]

To w jaki sposób zapisać klasy abstrakcji ?

[irena]

\(Z^2/\approx= \left\{(0,\ 0),\ (0,1),\ (0,-1),\ (0,2),\ (0,-2),\ (0,3),\ (0,-3),... \right\}\)

[Robson1416]

Mam pytanie w jaki sposób mam rozpoznać, że tak trzeba tą klase abstrakcji zapisać ? Jest na to jakiś wzór/przepis ?

[irena]

\(2a+2b=2c+2d\), jeśli \(a+b=c+d\), czyli dwie pary liczb całkowitych są ze sobą w tej relacji, jeśli sumy w parach są takie same. A suma liczb całkowitych jest liczbą całkowitą. Tutaj zapisałam zbiór klas abstrakcji wypisując pary najprostszych liczb dających w sumie kolejne liczby całkowite.