forum.zadania.info

a)\(\sum_{n=1}^{ \infty }ln \frac{n^2+1}{n^2}\)

b) \(\sum_{n=1}^{ \infty }(1+ \frac{1}{n})^ -n^2\)

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu jest to,żeby jego wyraz ogólny dążył do zera,czyli
a)
\(\lim_{n\to \infty }ln \frac{n^2+1}{n^2}=ln(1+ \frac{1}{n^2})\;\; \to \;\;ln(1+0)\; \to \;0\)
Stosując kryterium Cauchy'ego dla szeregu o składnikach nieujemnych(a tu są takie) otrzymamy:
\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ln \frac{n^2+1}{n^2} }= \sqrt[n]{ln(1+ \frac{1}{n^2}) }<1\)
Szereg jest zatem zbieżny.

b)
Warunek konieczny:
\(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{1}{n})^{-n^2}= \lim_{n\to \infty }[(1+ \frac{1}{n})^n]^{-n}=(e^{-1})^n=( \frac{1}{e})^n=0\)
WK jest spełniony.
Warunek dostateczny wg kryterium Cauchy'ego:
\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{(1+ \frac{1}{n})^{-n^2} } = \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{(e^{-1})^n}= \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ ( \frac{1}{e^n})}= \frac{1}{e}<1\)
Kryterium jest spełnione,zatem szereg jest zbieżny.