1.Wiedząc, że \(sin(6 \pi + \alpha )>0 i cos( \pi + \alpha )= \frac{5}{13}\), oblicz \(tg \alpha\)
2.Sprawdź czy równość \(\frac{1+sin4x}{cos4x}= \frac{1+tg2x}{1-tg2x}\) jest tożsamością trygonometryczną.
3. Wykaż że dla dowolnej liczby rzeczywistej x i y zachodzi równość \(sin^2x-sin^2y=sin(x+y)sin(x-y)\).
4.Kat\(\alpha\) jest kątem ostrym, jaki tworzy prosta o równaniu \(y=2x+5\) z osią OX. Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{sin \alpha(cos \alpha +sin \alpha) }{cos^2 \alpha}\)
5. Twierdzenie; dla każdej liczby rzeczywistej a zachodzi równość\(sin3 \alpha =3sin \alpha -4sin^3 \alpha\). Wykorzystując podane twierdzenie, wykaż że, liczna \(sin10^o\) jest pierwiatekiem wielomianu \(W(x)=8x^3-6x+1\)
Proszę o wskazania rozwiązań. Z góry dziękuje na poświęcenie swojego czasu,wysiłek i pomoc.
Związki między funkcjami trygonometrycznymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1968 razy
- Płeć:
zad 1.
\(\begin{cases} \sin (6 \pi + \alpha )=\sin(3 \cdot 2 \pi + \alpha )=\sin \alpha >0\\ \cos( \pi + \alpha )=-\cos \alpha = \frac{5}{13}\\ \sin^ 2\alpha +\cos^2 \alpha =1\\ tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}\sin \alpha >0\\ \cos \alpha =- \frac{5}{13} \\ \sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2 \alpha }= \sqrt{1- \frac{25}{169} }= \frac{12}{13} \\ tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ tg \alpha =- \frac{12}{5}\)
\(\begin{cases} \sin (6 \pi + \alpha )=\sin(3 \cdot 2 \pi + \alpha )=\sin \alpha >0\\ \cos( \pi + \alpha )=-\cos \alpha = \frac{5}{13}\\ \sin^ 2\alpha +\cos^2 \alpha =1\\ tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}\sin \alpha >0\\ \cos \alpha =- \frac{5}{13} \\ \sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2 \alpha }= \sqrt{1- \frac{25}{169} }= \frac{12}{13} \\ tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ tg \alpha =- \frac{12}{5}\)
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1968 razy
- Płeć:
zad 2.
zał.:\(\ \begin{cases}4x \neq \frac{ \pi }{2} +k \pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \neq \frac{ \pi }{8}+ \frac{k \pi }{4} \\ 1-tg 2x \neq 0 \ \ \ \Rightarrow \ \ 2x \neq \frac{ \pi }{4} +k \pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \neq \frac{ \pi }{8}+ \frac{k \pi }{2}\\ 2x \neq \frac{ \pi }{2} +k \pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \neq \frac{ \pi }{4} + \frac{k \pi }{2} \end{cases}\)
\(L= \frac{1+\sin 4x}{\cos 4x}= \frac{\sin^22x+\cos^2 2x+2\sin 2x\cos 2x}{\cos^22x-\sin^22x}= \frac{(\cos 2x+\sin 2x)^2}{(\cos 2x-\sin 2x)(\cos 2x+\sin 2x)}= \frac{\cos 2x+\sin 2x}{\cos 2x-\sin 2x}= \frac{ \frac{\cos 2x+\sin 2x}{\cos 2x} }{ \frac{\cos 2x-\sin 2x}{\cos 2x} }= \frac{1+tg 2x}{1-tg 2x}=P\)
zał.:\(\ \begin{cases}4x \neq \frac{ \pi }{2} +k \pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \neq \frac{ \pi }{8}+ \frac{k \pi }{4} \\ 1-tg 2x \neq 0 \ \ \ \Rightarrow \ \ 2x \neq \frac{ \pi }{4} +k \pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \neq \frac{ \pi }{8}+ \frac{k \pi }{2}\\ 2x \neq \frac{ \pi }{2} +k \pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \neq \frac{ \pi }{4} + \frac{k \pi }{2} \end{cases}\)
\(L= \frac{1+\sin 4x}{\cos 4x}= \frac{\sin^22x+\cos^2 2x+2\sin 2x\cos 2x}{\cos^22x-\sin^22x}= \frac{(\cos 2x+\sin 2x)^2}{(\cos 2x-\sin 2x)(\cos 2x+\sin 2x)}= \frac{\cos 2x+\sin 2x}{\cos 2x-\sin 2x}= \frac{ \frac{\cos 2x+\sin 2x}{\cos 2x} }{ \frac{\cos 2x-\sin 2x}{\cos 2x} }= \frac{1+tg 2x}{1-tg 2x}=P\)
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1968 razy
- Płeć:
zad 3.
\(L=\sin^2x-\sin^2y=(\sin x-\sin y)(\sin x+\sin y)=
=2 \cdot \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} \cdot 2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}=
=2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} \cdot 2 \cdot \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}=\)
\(=\sin (2 \cdot \frac{x+y}{2}) \cdot \sin (2 \cdot \frac{x-y}{2} )=\sin (x+y) \cdot \sin (x-y)=P\)
\(L=\sin^2x-\sin^2y=(\sin x-\sin y)(\sin x+\sin y)=
=2 \cdot \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} \cdot 2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}=
=2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x+y}{2} \cdot 2 \cdot \sin \frac{x-y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}=\)
\(=\sin (2 \cdot \frac{x+y}{2}) \cdot \sin (2 \cdot \frac{x-y}{2} )=\sin (x+y) \cdot \sin (x-y)=P\)