Podzielność wielomianu

[Januszgolenia]

Wielomian\(x^{60}-1\) jest podzielny przez wielomian:
A. x+1
B.\(x^2+x+1\)
C.\(x^3+x^2+x+1\)
D. \(x^4+x^3+x^2+x+1\)
Uzasadnij udzielone odpowiedzi.
Prawidłowe odpowiedzi A.Tak B.Tak C.Tak D.Tak

[jola]

-1 jest pierwiastkiem każdego z wielomianów Ai C

[Januszgolenia]

Ale -1 nie jest pierwiastkiem dla B i D

[irena]

\(x^{60}-1=(x-1)(x^{59}+x^{58}+x^{57}+...+x^4+x^3+x^2+x+1)\)

Drugi czynnik jest wielomianem o 60 składnikach. Można więc pogrupować te składniki w kolejne grupy po 2, po 3, po 4, po 5.

A.
\(x^{59}+x^{58}+x^{57}+...+x^4+x^3+x^2+x+1=\\=x^{58}(x+1)+x^{56}(x+1)+x^{54}(x+1)+..+x^2(x+1)+x+1\)

B.
\(x^{59}+x^{58}+...+x+1=\\=x^{57}(x^2+x+1)+x^{55}(x^2+x+1)+...+x^3(x^2+x+1)+x^2+x+1\)

C.
\(x^{59}+x^{58}+...+x^2+x+1=\\=x^{56}(x^3+x^2+x+1)+x^{52}(x^3+x^2+x+1)+..+x^4(x^3+x^2+x+1)+x^3+x^2+x+1\)

D.
\(x^{59}+x^{58}+...+x^2+x+1=\\=x^{55}(x^4+x^3+x^2+x+1)+x^{50}(x^4+x^3+x^2+x+1)+...+\\+...+x^5(x^4+x^3+x^2+x+1)+x^4+x^3+x^2+x+1\)

Wszystkie wielomiany są dzielnikami wielomianu \(x^{60}-1\)

[Januszgolenia]

Wielkie dzięki