\(\frac{1+x^2}{2+3x^4}\)
Prosiłbym krok po kroku wytłumaczyć , bo nie mam pojęcia jak się to robi ...
sprawdź czy funkcja jest ograniczona
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
escher
- Moderator
- Posty: 308
- Rejestracja: 26 wrz 2008, 13:41
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 68 razy
Można zacząć od wykonania jakiegoś wykresu przy pomocy jakiegoś programu.
wpisanie (1+x^2)/(2+3x^4) w wolframalpha.com działa na przykład. Wtedy możemy domyślić się, że funkcja jest ograniczona.
(Jak ktoś ma więcej doświadczenia, to widzi "od razu)
Chodzi o to, czy sa jakieś liczby rzeczywiste \(m, M\), które z dołu i z góry ograniczają funkcję
tj. \(m \le f(x) \le M\) dla wszystkich \(x\).
Zwykle najpierw myślimy o tym, co się dzieje w nieskończoności bo "tam najłatwiej" funkcja przekracza ograniczenia.
Tutaj w nieskończonościach mamy w granicy 0, bo \(x^4\) z mianownika rośnie szybciej niż
\(x^2\) z licznika.
Z dolnym ograniczniem jest łatwo, jesli zauważymy, że są tylko parzyste potęgi i plusy, więc funkcja jest wszędzie dodatnia.
Aby znaleźć górne ograniczenie można poszukac maksimum funkcji np. stosując pochodne, ale tutaj, to bezsensowny trochę wysiłek. Lepiej szacować, dzieląc dziedzinę na dwa kawałki.
1) \(|x|>1, 1<x^2<x^4\), wtedy oczywiście \(f(x)=\frac{1+x^2}{2+3x^4}<\frac{1+x^4}{2+2x^4}=\frac{1}{2}\)
2) \(|x|\le 1, x^4<x^2<1\), wtedy \(f(x)=\frac{1+x^2}{2+3x^4}<\frac{1+x^2}{2}\le 2\).
Zatem liczba 2 jest górnym ograniczeniem funkcji (oczywiście nie najmniejszym możliwym).
Podana funkcja jest ograniczona.
Uwaga.
Można nie szukać ograniczeń, tylko powołać się na twierdzenie Weierstrassa, że funkcja ciągła na przedziale domkniętym
jest ograniczona. Wystarczy zbadać granice w nieskończonościach. Ale podanie precyzyjnego wnioskowania w tym konkretnym przypadku będzie chyba bardziej skomplikowane niż powyższe.
wpisanie (1+x^2)/(2+3x^4) w wolframalpha.com działa na przykład. Wtedy możemy domyślić się, że funkcja jest ograniczona.
(Jak ktoś ma więcej doświadczenia, to widzi "od razu)
Chodzi o to, czy sa jakieś liczby rzeczywiste \(m, M\), które z dołu i z góry ograniczają funkcję
tj. \(m \le f(x) \le M\) dla wszystkich \(x\).
Zwykle najpierw myślimy o tym, co się dzieje w nieskończoności bo "tam najłatwiej" funkcja przekracza ograniczenia.
Tutaj w nieskończonościach mamy w granicy 0, bo \(x^4\) z mianownika rośnie szybciej niż
\(x^2\) z licznika.
Z dolnym ograniczniem jest łatwo, jesli zauważymy, że są tylko parzyste potęgi i plusy, więc funkcja jest wszędzie dodatnia.
Aby znaleźć górne ograniczenie można poszukac maksimum funkcji np. stosując pochodne, ale tutaj, to bezsensowny trochę wysiłek. Lepiej szacować, dzieląc dziedzinę na dwa kawałki.
1) \(|x|>1, 1<x^2<x^4\), wtedy oczywiście \(f(x)=\frac{1+x^2}{2+3x^4}<\frac{1+x^4}{2+2x^4}=\frac{1}{2}\)
2) \(|x|\le 1, x^4<x^2<1\), wtedy \(f(x)=\frac{1+x^2}{2+3x^4}<\frac{1+x^2}{2}\le 2\).
Zatem liczba 2 jest górnym ograniczeniem funkcji (oczywiście nie najmniejszym możliwym).
Podana funkcja jest ograniczona.
Uwaga.
Można nie szukać ograniczeń, tylko powołać się na twierdzenie Weierstrassa, że funkcja ciągła na przedziale domkniętym
jest ograniczona. Wystarczy zbadać granice w nieskończonościach. Ale podanie precyzyjnego wnioskowania w tym konkretnym przypadku będzie chyba bardziej skomplikowane niż powyższe.