Obliczyć pochodną arkusa tangensa.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 27 sie 2010, 19:34

\(y=arctan(x-\sqrt{x^2+1})\)
Z góry dziękuję.

irena · Post autor: **irena** » 27 sie 2010, 19:48

\((arc\ tgu)'=\frac{u'}{1+u^2}\)

\(u=x-\sqrt{x^2+1}\\u'=1-\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot2x=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}\\1+u^2=1+x^2+x^2+1-2x\sqrt{x^2+1}=2x^2-2x\sqrt{x^2+1}+2=2(x^2-x\sqrt{x^2+1}+1)\)

\((arc\ tg(x-\sqrt{x^2-1}))'=\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}\cdot2(x^2-x\sqrt{x^2-1}+1)}=\\=\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{2\sqrt{x^2+1}(x^2-x\sqrt{x^2+1}+1)}\)

Czy to można jakoś uprościć?

domino21 · Post autor: **domino21** » 27 sie 2010, 19:53

próbowałem sposobem Ireny zaprezentowanym w innym poście, ale nie wychodziło mi to..
może dlatego:

tometomek91 pisze:\(y=arctan(x-\sqrt{x^2+1})\)

irena pisze:\(u=x-\sqrt{x^2-1}\)

to jak powinno być?

irena · Post autor: **irena** » 27 sie 2010, 19:55

No tak, znowu wpadka. Zaraz poprawię. Na kartce wpisałam sobie "-"

domino21 · Post autor: **domino21** » 27 sie 2010, 19:57

ciekaw jestem czy Tobie też takie straszne rachunki wyjdą jak mi

irena · Post autor: **irena** » 27 sie 2010, 20:05

Oj tak, brzydki wynik. Ale sprawdź, czy znowu nie zaliczyłam jakiegoś kiksa.

domino21 · Post autor: **domino21** » 27 sie 2010, 20:07

dostałem taki sam wynik, musi być dobrze w takim razie, chyba że to jednak tomek się pomylił w przepisywaniu..

irena · Post autor: **irena** » 27 sie 2010, 20:27

\(\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{2\sqrt{x^2+1}(x^2-x\sqrt{x^2+1}+1)(\sqrt{x^2+1}+x)}=\\=\frac{x^2+1-x^2}{2\sqrt{x^2+1}(x^2\sqrt{x^2+1}+x^3-x(x^2+1)-x^2\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2+1}+x)}=\\=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2+1}}=\\=\frac{1}{2(x^2+1)}\)

irena · Post autor: **irena** » 27 sie 2010, 20:35

Tomek, a jaka jest odpowiedź???

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 27 sie 2010, 20:47

Wynik taki, jaki wyszedł Tobie w ostatnim poście. Zadanie z krysickiego 6.128. W przykładach od 6.126 do 6.133 (bo dalej nie liczyłem) nie miałem ani jednego poprawnego wyniku... :/ a przecież wzory dobrze stosuję. W związku z powyższym, czy te przekształcenia są konieczne? Czy nie można zostawić tego zaraz po zastosowaniu wzorów?

irena · Post autor: **irena** » 27 sie 2010, 20:50

Ja nie mam tego zbioru. Ale jeśli masz, to ZAWSZE podawaj odpowiedź. To naprawdę pomaga.
Myślę, że powinno się starać upraszczać wyrażenia. Ale nie zawsze się udaje.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 27 sie 2010, 21:33

Dzięki!