Witam, mam problem z tym zadaniem, czy moglibyście mi pomóc w jego rozwiązaniu? Należy zbadać zbieżność szeregu: \(\sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{n^n}{3^n \times n!}\)
Z góry dziękuje za pomoc.
Zbadać zbieżność szeregu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Należy zastosować kryterium ilorazowe (d'Alemberta):
\(a_n=\frac{n^n}{3^n\cdot\ n!}\\a_{n+1}=\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}\cdot(n+1)!}\\ \lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a^n}= \lim_{n\to \infty } \frac{(n+1)^{n+1}\cdot3^n\cdot\ n!}{n^n\cdot3^{n+1}\cdot(n+1)!}=\\= \lim_{n\to \infty } \frac{(n+1)^n\cdot(n+1)}{n^n\cdot3\cdot(n+1)}= \lim_{n\to \infty } \frac{1}{3}\cdot(\frac{n+1}{n})^n=\frac{1}{3} \lim_{n\to \infty } (1+\frac{1}{n})^n=\frac{1}{3}e<1\)
Czyli szereg jest zbieżny.
\(a_n=\frac{n^n}{3^n\cdot\ n!}\\a_{n+1}=\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}\cdot(n+1)!}\\ \lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a^n}= \lim_{n\to \infty } \frac{(n+1)^{n+1}\cdot3^n\cdot\ n!}{n^n\cdot3^{n+1}\cdot(n+1)!}=\\= \lim_{n\to \infty } \frac{(n+1)^n\cdot(n+1)}{n^n\cdot3\cdot(n+1)}= \lim_{n\to \infty } \frac{1}{3}\cdot(\frac{n+1}{n})^n=\frac{1}{3} \lim_{n\to \infty } (1+\frac{1}{n})^n=\frac{1}{3}e<1\)
Czyli szereg jest zbieżny.
