forum.zadania.info

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Wykaż, że jeżeli długości a,b,c boków trójkata spełniają warunek: \(a^2=b^2+b \cdot c\), to w tym trójkącie miara kąta wewnętrznego leżącego naprzeciw boku długości a jest dwa razy większa od miary wewnętrznego kata leżącego naprzeciw boku długości b.

dziekuję

\(\alpha\)- kąt leżący naprzeciw boku a (największy kąt trójkąta)
\(\beta\)- kąt leżący naprzeciw boku b

Z twierdzenia cosinusów:
\(a^2=b^2+c^2-2bc\ cos\alpha\\b^2+bc=b^2+c^2-2bc\ cos\alpha\\cos\alpha=\frac{c-b}{2b}\)

z twierdzenia cosinusów:
\(b^2=a^2+c^2-2ac\ cos\beta\\b^2=b^2+2bc+c^2-2ac\ cos\beta\\cos\beta=\frac{b+c}{2a}\)

\(cos2\beta=2cos^2\beta-1\\cos2\beta=2\cdot\frac{b^2+2bc+c^2}{4a^2}-1=\frac{b^2+c^2+2bc-2a^2}{2a^2}=\\=\frac{b^2+c^2+2bc=2b^2-2bc}{2a^2}=\frac{c^2-b^2}{2a^2}=\frac{(c-b)(c+b)}{2b^2+2bc}=\frac{(c-b)(c+b)}{2b(c+b)}=\\=\frac{c-b}{2b}=cos\alpha\\cos2\beta=cos\alpha\\\alpha+\beta<180^o\\\alpha=2\beta\)

Znalazłam jeszcze jeden sposób na dowód tej zależności- oparty na podobieństwie trójkątów.

Nazwij trójkąt ABC, gdzie |AB|=c, |BC|=a, |AC|=b. Kąty: \(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) to kąty o wierzchołkach odpowiednio A, B, C.

Przedłuż bok AC i zaznacz na tym przedłużeniu punkt D tak, żeby |AD|=c (punkt D leży za punktem A). Wtedy |DC|=b+c.

Rozważ trójkąty ABC i BCD. Mają one wspólny kąt przy wierzchołku C. Poza tym- z równości \(a^2=b^2+bc\) wynika, że \(\frac{a}{b}=\frac{b+c}{a}\). Czyli trójkąty ABC i BCD mają proporcjonalne boki tworzące przystające kąty. Stąd, na mocy cechy (bkb) trójkąty te są podobne, bo:
\(\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{a}{b}\\\frac{|CD|}{|BC|}=\frac{b+c}{a}\)

Wynika stąd, że \(| \angle BDC|=| \angle ABC|=\beta\). Ale trójkąt ABD jest równoramienny, bo |AD|=|AB|=c. Stąd: \(| \angle ABD|=\beta\). Zatem: \(| \angle DBC|=2\beta\). A ponieważ - z podobieństwa tych trójkątów wynika, że \(| \angle BAC|=| \angle DBC|=\alpha\), więc: \(\alpha=2\beta\).

Z założenia w treści posta rozpoczynającego wątek.

Pozdrawiam