Oblicz całkę
\(\int \frac{dx}{cosx}\)
Czy jest jakiś inny sposób niż skorzystanie ze wzoru na całkę z secansa?
Całka nieozanczona z f tryg.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
tometomek91
- Czasem tu bywam
- Posty: 133
- Rejestracja: 05 wrz 2009, 18:57
- Podziękowania: 42 razy
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
\(cosx=sin(x+\frac{\pi}{2})\\x+\frac{\pi}{2}=t\\dx=dt\\\int\frac{dx}{cosx}=\int\frac{dt}{sint}=\\ \begin{cases}tg\frac{t}{2}=u\\\frac{t}{2}=arc\ tgu\\t=2arc\ tgu\\dt=\frac{2}{1+u^2}du\\sint=\frac{2u}{1+u^2} \end{cases} \\=\int\frac{\frac{2}{1+u^2}}{\frac{2u}{1+u^2}}du=\int\frac{du}{u}=ln|u|=ln|tg\frac{t}{2}|=ln|tg(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C\)
Spróbujmy sprawdzić, czy to jest równe:
\(|tg(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|=|\frac{tg\frac{x}{2}+tg\frac{\pi}{4}}{1-tg\frac{x}{2}\cdot\ tg\frac{\pi}{4}}|=|\frac{1+t}{1-t}|\\t=tg\frac{x}{2}\)
\(\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}=\sqrt{\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{1-\frac{2t}{1+t^2}}}=\sqrt{\frac{\frac{1+2t+t^2}{1+t^2}}{\frac{1-2t+t^2}{1+t^2}}}=\sqrt{\frac{(1+t)^2}{(1-t)^2}}=|\frac{1+t}{1-t}|\)
Czyli- dobrze
\(|tg(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|=|\frac{tg\frac{x}{2}+tg\frac{\pi}{4}}{1-tg\frac{x}{2}\cdot\ tg\frac{\pi}{4}}|=|\frac{1+t}{1-t}|\\t=tg\frac{x}{2}\)
\(\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}=\sqrt{\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{1-\frac{2t}{1+t^2}}}=\sqrt{\frac{\frac{1+2t+t^2}{1+t^2}}{\frac{1-2t+t^2}{1+t^2}}}=\sqrt{\frac{(1+t)^2}{(1-t)^2}}=|\frac{1+t}{1-t}|\)
Czyli- dobrze
-
tometomek91
- Czasem tu bywam
- Posty: 133
- Rejestracja: 05 wrz 2009, 18:57
- Podziękowania: 42 razy
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
Mam jeszcze jedno wyprowadzenie do wzoru Galena 
\(\int\frac{dx}{cosx}=\int \frac{cosx}{cos^2x}dx=\frac{1}{2} \int \frac{2cosx}{cos^2x}dx
=\frac{1}{2} \int cosx \cdot \frac{1+sinx+1-sinx}{1-sin^2x}dx
=\frac{1}{2} \int \frac{cosx}{1+sinx}dx+\frac{1}{2} \int \frac{cosx}{1-sinx}dx
= \frac{1}{2}ln|\frac{1+sinx}{1-sinx}| +C\)
dalej jeszcze można rozszerzyc ten ułamek o sprzezenie mianownika, wtedy dostajemy ładne wyniki po spierwiastkowaniu wyrażenia logarytmowanego
Dzięki za pomoc!
\(\int\frac{dx}{cosx}=\int \frac{cosx}{cos^2x}dx=\frac{1}{2} \int \frac{2cosx}{cos^2x}dx
=\frac{1}{2} \int cosx \cdot \frac{1+sinx+1-sinx}{1-sin^2x}dx
=\frac{1}{2} \int \frac{cosx}{1+sinx}dx+\frac{1}{2} \int \frac{cosx}{1-sinx}dx
= \frac{1}{2}ln|\frac{1+sinx}{1-sinx}| +C\)
dalej jeszcze można rozszerzyc ten ułamek o sprzezenie mianownika, wtedy dostajemy ładne wyniki po spierwiastkowaniu wyrażenia logarytmowanego
Dzięki za pomoc!