Problem z różniczkowalnością funkcji

[tometomek91]

Polecenie brzmi: zbadaj czy istnieją takie wartości paramtrów a i b \((a,b \in \mathbb{R})\), dla których funkcja jest ciągła i różniczkowalna w zbiorze R.

\(f(x)=\begin{cases} 4-\frac{1}{2}bx^{2} \ \ \ dla \ \ x \in (-\infty, 2) \\ \frac{2}{x} -a \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ x \in \langle 2, +\infty) \end{cases}\)

Ciągłość: \(\lim_{x \to 2^{-}} \ 4-\frac{1}{2}bx^{2}=4-2b\) oraz \(\lim_{x \to 2^{+}} \ \frac{2}{x} -a=1-a\). Dostajemy równanie: \(4-2b=1-a\).

Dalej, załóżmy, że h<0, wtedy \(x_{0}+h=2+h<2\) i:

\(f(x_{0}+h)=4-\frac{1}{2}b(2+h)^{2}=4-\frac{1}{2}bh^{2}-2bh-2b\\
f(x_{0})=f(2)=\frac{2}{2}-a=1-a\)

Liczymy pochodną:

\(\lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{4-\frac{1}{2}bh^{2}-2bh-2b-1+a}{h}=...\)

i itutaj jest moje pytanie: jak obliczyć taką granicę? W podręczniku mam trochę inaczej:

\(\lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{4-\frac{1}{2}bh^{2}-2bh-2b-4+2b}{h}=...\)

czyli wg podręcznika \(f(x_{0})=f(2)=4-2b\). Dlaczego w ten sposób?

[tometomek91]

Domyślam się, że \(f(x_{0})\) to nie \(1-a\), ale: \(f(x_{0})=f(2)=4-\frac{1}{2}b \cdot 2^{2}=4-2b\). Dlaczego korzystamy z "pierwszego" wzoru, jakim opisana jest funkcja? Wtedy wszystko ładnie wychodzi, ale co zrobić jak będzie przykład:
\(f(x)=\begin{cases} 4-\frac{1}{2}bx^{2} \ \ \ dla \ \ x \in (-\infty, 0 \rangle \\ \frac{2}{x} -a \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ x \in (0, +\infty) \end{cases}\)
Wtedy, gdy chcę policzyć granicę prawostronną, przy h dążącym do zera i h>0, to
\(f(x_{0})=f(0)=...\) tutaj "pierwszy", czy "drugi" wzór funkcji?

[domino21]

skorzystaj z tego równania, które otrzymałeś z warunku ciągłości:
\(4-2b=1-a \ \Rightarrow \ a-2b+3=0\), wtedy

\(\lim_{h\to 0^-} \frac{4-\frac{1}{2}bh^2-2bh-2b-1+a}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-2bh-\frac{1}{2}bh^2+0}{h}=\lim_{h\to 0^-}(-2b-\frac{1}{2}bh)=-2b=f'_{-}(2)\)

[tometomek91]

OK, już rozumiem, dzięki!

[Galen]

\(f'(x)\) możesz obliczać z wzorów na pochodne,chyba,że jest polecenie nakazujące korzystanie z definicji.

\(f'(x)=\{-bx\;dla x \in (- \infty ;2)\\ \frac{-2}{x^2}\;dla x \in <2;0) \cup (0;+ \infty )\)

\(\lim_{x\to 2^-}f'(x)=-2b\)
\(\lim_{x\to 2^+}f'(x)= \frac{-1}{2}\)

Układ równań:
\(\{4-2b=1-a\\-2b= \frac{-1}{2}\)

Tak jest szybciej i bardziej przejrzyście.