Wykaż, że nie istnieje liczba naturalna...
: 21 kwie 2010, 14:11
Wykaż, że nie istnieje liczba naturalna k, dla której \(3^{k}+5^{k}\) jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.
Liczba \(3^k+5^k\) jest liczbą parzystą. Gdyby była kwadratem liczby naturalnej n, to musiałaby dzielić się przez 4, czyli liczba n musiałaby być liczbą parzystą. Ostatnią cyfrą liczby \(n^2\) może być więc tylko 0, 4 lub 6.
Jeśli k=0, to \(3^0+5^0=2\) nie jest kwadratem liczby naturalnej.
\(3^k+5^k=(4-1)^k+(4+1)^k\)
Jeśli liczba k jest liczbą parzystą, to liczba \(3^k=(4-1)^k\) daje w dzieleniu przez 4 resztę równą 1, ponieważ wszystkie składniki po podniesieniu do potęgi są wielokrotnościami liczby 4, poza ostatnim, równym \(1^k=1\). Podobnie- jeśli k jest parzyste, to liczba \(5^k=(4+1)^k\) daję w dzieleniu przez 4 resztę równa 1. Zatem liczba \(3^k+5^k\) daje w dzieleniu przez 4 resztę równą 2. Zatem- nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej.
Jeśli liczba k jest liczbą nieparzystą, to cyfra jedności liczby \(3^k\) jest równa 3 lub 7. Cyfrą jedności liczby \(5^k\) jest 5. Zatem ostatnią cyfrą liczby \(3^k+5^k\) jest 8 lub 2. Liczba ta nie może być więc kwadratem liczby naturalnej.