Niezależne zmienne losowe

[dawid_l38]

Niech \((\Omega, F, \mathbb{P})\) będzie przestrzenią propabilistyczną i niech zmienne losowe \(X,Y,Z\) będą niezależne. Pokazać, że niezależne będą zmienne losowe \(X+Y\) oraz \(Z^2\)

[janusz55]

Korzystamy z własności funkcji charakterystycznych lub dystrybuanty lub gęstości lub wartości oczekiwanej dwóch zmiennych losowych niezależnych.

[dawid_l38]

rozpisałbyś?

[janusz55]

Jeżeli zmienne losowe \( X, Y \) są niezależne \( S_{2} = X +Y \), to funkcja charakterystyczna \( \phi_{X+Y}(t) = \phi_{X}(t) \cdot \phi_{Y}(t).\) - co świadczy o niezależności ich sumy.
'
Dowód

Z definicji funkcji charakterystycznych

\( \phi_{X+Y}(t) = E \left( e^{i t S_{2}} \right) = E \left(e^{itX}\cdot e^{itY}\right) = E \left(e^{itX}\right) \cdot E \left(e^{itY}\right) =\phi_{X}(t) \cdot \phi_{Y}(t).\)

\( \Box \)

[dawid_l38]

a co z \(Z^2\)? jak to zrobić?

[janusz55]

Dla każdej liczby rzeczywistej \( a\in \rr. \)

\( P(\{X \leq a\}) P(\{X \leq a\}) = \int_{-\infty}^{a} f_{Z}(z) dz \int_{-\infty}^{a} f_{Z}(z) dz= \int_{-\infty}^{a} \int_{-\infty}^{a} f_{Z}(z) f_{Z}(z) dz dz = \int_{-\infty}^{a} \int_{-\infty}^{a} f^2_{Z}(z) d^2z. \)

Stąd wynika, że równość

\(P(\{X\leq a\} \cap \{X \leq a\}) = P(\{X \leq a\}) P(\{X\leq a\}) \) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \( f_{Z,Z}(z,z) = f_{Z}(z) f_{Z}(z),\) a to świadczy o niezależności zmiennej losowej \( Z^2.\)
\( \Box \)