jak znależć współrzędne wierzchołków równoległościanu

[madamek]

w równoległościanie znamy długości krawędzi \(a,\ b,\ c\) i kąty między krawędziami \(\gamma=\angle(a,b),\ \alpha=\angle(b,c),\ \beta=\angle(a,c)\). Trzeba policzyć objętość równoległościanu. Chyba najłatwiej umieszczając go w układzie współrzędnych tak, aby jeden wierzchołek był w \((0,0,0)\) a jedna krawędź wzdłuż osi \(x\).
Ale wzory na objętość wychodzą kosmiczne. Może ktoś ma pomysł jak to obliczyć?

[Jerry]

Analitycznie najłatwiej? Niekoniecznie!

Przy oznaczeniach jak na rysunku (spodek wysokości nie musi należeć do podstawy równoległościanu - rozpatrz sama - ale wynik otrzymasz taki sam ):

mamy (w skrócie):

1. \(|AN|=c\cos\beta,\ |AM|=c\cos\alpha\),
2. \(|MN|=\sqrt{(c\cos\beta)^2+(c\cos\alpha)^2-2\cdot c\cos\beta\cdot c\cos\alpha\cdot\cos\gamma}=\ldots\),
3. \(2R=\dfrac{|MN|}{\sin\gamma}=\ldots\),
4. \(H=\sqrt{c^2-(2R)^2}=\ldots\),
5. \(V_G=a\cdot b\cdot\sin\gamma\cdot H=\ldots\).

Pozdrawiam

[edited] poprawka bad-klick