losowanie liczby spełniającej równanie

[crybe]

Ze zbioru liczb \([-5,5]\) losujemy liczbę \(m\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że równanie \(2x^2 + (m-1)+2=0\) będzie sprzeczne?

[janusz55]

Losujemy jedną liczbę ze zbioru liczb całkowitych \( A = [ -5, -4,-3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]. \)

Zbiór wszystkich możliwych wyników losowań liczby

\( \Omega = [ -5, -4,-3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]. \)

\( S \) zdarzenie " równanie kwadratowe \( 2x^2 +(m-1)x +2 = 0 \) jest sprzeczne"

Równanie kwadratowe jest sprzeczne (nie ma rozwiązań), gdy jego wyróżnik \( \Delta < 0. \)

\( \Delta = (m-1)^2 -4\cdot 2 \cdot 2 = (m-1)^2 - 16 = ( m-1 -4)(m-1 +4) = (m-5)(m+3).\)

\( \Delta = (m-5)(m+3)< 0 \leftrightarrow m\in (-3, 5) = \{-2,-1,0,1,2,3,4 \}\)

Zakładamy, że wszystkie losowania liczby są jednakowo możliwe.

\( P(S) = \frac{|S|}{|\Omega|} = \frac{7}{11}.\)

Losując jedną liczbę ze zbioru \( A \) możemy oczekiwać, że w około \( 64\% \) ogólnej liczby wyników, dla wylosowanej liczby \( m \) równanie kwadratowe będzie sprzeczne.

[Jerry]

Zakładając, że

Ze zbioru liczb \([-5,5]\) losujemy liczbę \(m\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że równanie \(2x^2 + (m-1)\color{red}{x}+2=0\) będzie sprzeczne?

to, wg mnie, nikt nie napisał, że parametr jest całkowity i
\[|\Omega|=10,\ |A|=8\]
bo miarą przedziału jest jego średnica. Skąd
\[p(A)=0,8\]
Pozdrawiam

[crybe]

m oczywiście należy do zbioru liczb rzeczywistych, a przy wyrażeniu (m-1) nie ma x.

[Jerry]

... przy wyrażeniu (m-1) nie ma x.

W takim razie, choć zapis jest "dziwny", mamy
\[2x^2 + (m-1)+2=0\iff x^2 = {1\over2}(-m-1)\]
i równanie jest sprzeczne, o ile
\[-m-1<0\iff m\in(-1;+\infty)\cap[-5;5]=(-1;5].\]
Wtedy
\[|A|=6\So p(A)=0,6\]
Pozdrawiam

"

[maria19]

m oczywiście należy do zbioru liczb rzeczywistych, a przy wyrażeniu (m-1) nie ma x.

Jeżeli m losujemy że zbioru \(\rr\) to zadanie wykracza poza program szkoły średniej.

[Jerry]

Jeżeli m losujemy że zbioru \(\rr\) to zadanie wykracza poza program szkoły średniej.

Nie, bo

Ze zbioru liczb \([-5,5]\) losujemy liczbę \(m\)....

Pozdrawiam

[maria19]

A ile jest liczb w tym zbiorze?

[Jerry]

Zbiór ten jest równoliczny z \(\rr\), czyli \(\overline{\overline{[-5;5]}}=\mathfrak c\); ale jego miara jest skończona: \(|[-5;5]|=10\)

Pozdrawiam
PS. Polecam strony od 25

\[\mathfrak c\]

[maria19]

Równoliczne są i owszem ale tych liczb jest nieskończenie wiele i dlatego wykracza to poza program liceum na co wskazuje również plik dołączony z Politechniki Poznańskiej.

[janusz55]

Jest to typowe zadanie na klasyczny skończony schemat prawdopodobieństwa, a nie na prawdopodobieństwo geometryczne (odległość dwóch punktów \( (-5,0), (5,0)).\) W treści zadania losujemy jedną liczbę ze ze zbioru.

Autor posta nie dokładnie przepisał treść zadania.

[Jerry]

... wykracza to poza program liceum ...

Aksjomatyka p-wa jest w kanonie, a omawiany problem mieści się w tym temacie i ja go realizuję!

Pozdrawiam
PS. janusz55: przeczytaj, proszę, ze zrozumieniem podlinkowany przeze mnie dokument.