udowodnić wzory

[Filip25]

Udowodnij wzór:
a). \(x- \frac{1}{6} x^3<\sin x<x\) dla \(x>0\)
b). \(\sin x \ge \frac{2}{ \pi }x \) dla \(x \in [0, \frac{ \pi }{2} ]\)

[Tulio]

a) Z rozwinięcia funkcji sinus w szereg Taylora dla dowolnego \(x\) mamy:
\(\sin x = x-\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots\)
stąd bezpośrednio \(\sin x > x-\frac{x^3}{3!} = x - \frac{1}{6}x^3\) dla \(x>0\).

b) To słynna nierówność Jordana. Dowodzimy Z wklęsłości funkcji sinus na wskazanym przedziale (funkcja sinus jest nad odcinkiem \(AB\) gdzie \(A \left( 0,0\right) \) i \(B \left( \frac{\pi}{2}, 1\right) \)).

[janusz55]

a)
\( x-\frac{1}{6}x^3 <\sin(x) < x \)

Sposób pierwszy (twierdzenia Cauchy' o wartości średniej)

Dla funkcji \( f(x)= 1-\cos(x), \ \ g(x)= \frac{x^2}{2}, \ \ x \geq 0 \)

\( \frac{1-\cos(x)}{\frac{x^2}{2}} = \frac{\sin(\theta)}{\theta} < 1. \)

Stąd

\( \sin(\theta) < \theta \) dla \( \theta >0.\)

i

\( 1 -\frac{x^2}{2!} < \cos(x) \) dla \( x>0.\)

b)
Niech dla \( x\geq 0, \ \ f(x) = x -\sin(x), \ \ g(x) = \frac{x^3}{3!}. \)

Z twierdzenia Cauchy i z punktu \( (a) \) wynika

\( \frac{x-\sin(x)}{\frac{x^3}{3!}} = \frac{1-\cos(\theta)}{\frac{\theta^2}{2!}}< 1, \) co oznacza, że

\( x -\frac{x^3}{3!} < \sin(x) \) dla \( x>0.\)

Sposób drugi (wzór Taylora - Maclaurina dla funkcji \( \sin(x) \))

\( \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}. \)

[janusz55]

b)
\( \sin(x) \geq \frac{2}{\pi}, \ \ x \in \left[ 0, \ \ \frac{\pi}{2}\right].\)

Pierwszy sposób (graficzny)

Rysujemy w prostokątnym układzie współrzędnych \( Oxy \) wykres funkcji \( y = \sin(x) \) i prostej o równaniu \( y = \frac{2}{\pi}x \) dla \( x \in \left[ 0, \ \ \frac{\pi}{2}\right].\)

Nierówność wynika z wklęsłości funkcji sinus w przedziale \( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] .\)

Drugi sposób - stosujemy twierdzenie Cauchy o wartości średniej dla funkcji:

\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x}, \ \ g(x) = x \cos(x)-\sin(x).\)