wzoru Maclaurina

[Filip25]

Rozwinąć według wzoru Maclaurina funkcję \(f(x)= \frac{1}{1+x} \)

[janusz55]

Sposób pierwszy (suma nieskończczonego szeregu geometrycznego)

\( f(x) = \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^{n} = \sum_{n=0} ^{\infty} (-1)^{n}x^{n}, \ \ |x|<1. \)

Sposób drugi (wzór Taylora-Maclaurina)

\( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \ \ ...\)

[maria19]

Tytuł sugeruje, że autor szuka wzoru Maclaurina

[Filip25]

Gdzie znajdę krok po kroku jak się robi te rozwinięcia?

[janusz55]

Znajdziesz w podręcznikach rachunku różniczkowego i całkowego na przykład w:

G.M. Fichtenholz. Rachunek różniczkowy i całkowy.

S. Banach. Rachunek Różniczkowy i całkowy.

K. Kuratowski. Rachunek różniczkowy i całkowy.

[janusz55]

\( f(x)= f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f^{'''}(0)}{2!} x ^2 + ...+ \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}+ o(x^{n}).\)

\( f(x) = \frac{1}{1+ x}, \ \ x\in \rr \setminus\{-1\} \)

\( f(0) = \frac{1}{1+ 0} = 1.\)

\( f'(x) = [(1 +x)^{-1}]' = -\frac{1}{(1+x)^2}, \ \ f'(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1.\)

\( f^{''}(x) = [f'(x)]' = -[(1+x)^{-2}]' = \frac{2}{(1+ x)^3}, \ \ f^{''}(0) = \frac{2}{(1+0)^3}= 2.\)

..............................................................................................................................................................

\( f^{(k)}(x) = m(m-1)(m-2)...(m-k+1)(1+x)^{m-k}, \ \ f^{(k)}(0) = m(m-1)(m-2)...(m-k+1)(1+0)^{m-k} =\)

\(= m(m-1)(m-2)...(m-k+1).\)

\( f(x) = \frac{1}{1+x} = 1 -\frac{1}{1!} x + \frac{2}{2!}x^2 + ...+ \frac{m(m-1)(m-2)...(m-k+1)}{k!}x^{k} + ... +\)

\( + \frac{m(m-1)(m-2)...(m-n+1)}{n!}x^{n} + o(x^{n}) = 1 - x + x^2 + ...+ \frac{m(m-1)(m-2)...(m-k+1)}{k!}x^{k} + ... + \frac{m(m-1)(m-2)...(m-n+1)}{n!}x^{n} + o(n).\)