Podaj rozwiązanie podstawowe i ogólne układu:
\(2x_{2}+3x_{4}-2x_{5}+4x_{6}=2\)
\(x_{1}-2x_{2}-x_{3}+2x_{5}=2\)
\(x_{1}-x_{3}+3x_{4}+4x_{6}=4\)
Szukasz ogólnego rozwiązania tego układu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2073
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 492 razy
Re: Szukasz ogólnego rozwiązania tego układu
\(U: \ \ \begin{cases} 0x_{1} +2x_{2}+ 0x_{3} +3x_{4} -2x_{5} + 4x_{6} = 2 \\ x_{1} - 2x_{2} - x_{3}+0x_{4}+2x_{5}+0x_{6} = 2 \\ x_{1}+ 0x_{2} - x_{3} +3x_{4}+ 0x_{5} +4x_{6} = 4 \end{cases} \)
Metoda Gaussa - Jordana
Sprowadzamy macierz tego układu do zredukowanej postaci schodkowej,
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} - w_{1}\)
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} + w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
\( \det \begin{bmatrix} 0 & 2 &0 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -\det \begin{bmatrix} 0 &2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = -(-2) = 2 \neq 0.\)
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 2-3 + 2 -4 \\ 1 & -2 & -1 & 2-0 -2 -0 \\ 0 & 0 &-1 & 4-3-0 -4 \end{bmatrix} \)
\( w_{3}\cdot (-1) \)
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 2-3 + 2 -4 \\ 1 & -2 & 1 & 2-0 -2 -0 \\ 0 & 0 &-1 & -4+3+ 0 + 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{2} + w_{3} \)
\( \begin{bmatrix} 0 & 2& 0 & 2 -3 + 2 - 4 \\ 1 & -2 & 0 & -2 +3 - 2 + 4 \\ 0 & 0 & 1 & -4 +3 + 0 + 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{1} + w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 -0 + 0 - 0 \\ 1 & -2 & 0 & -2 +3 - 2 + 4 \\ 0 & 0 & 1 & -4 +3 + 0 + 4 \end{bmatrix} \)
Rozwiązanie ogólne układu \( U \)
\( \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1-\frac{3}{2}u + s +0 t \\ -4 +3u + 0s + 4t \\ u \\ s \\ t \end{bmatrix} u,\ \ s,\ \ t \in \rr. \)
Kładąc \( u= s = t = 0 \) - otrzymujemy pierwsze bazowe (podstawowe) rozwiązanie
\( \mathcal{B}_{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\)
Metoda Gaussa - Jordana
Sprowadzamy macierz tego układu do zredukowanej postaci schodkowej,
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} - w_{1}\)
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} + w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
\( \det \begin{bmatrix} 0 & 2 &0 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -\det \begin{bmatrix} 0 &2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = -(-2) = 2 \neq 0.\)
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 2-3 + 2 -4 \\ 1 & -2 & -1 & 2-0 -2 -0 \\ 0 & 0 &-1 & 4-3-0 -4 \end{bmatrix} \)
\( w_{3}\cdot (-1) \)
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 2-3 + 2 -4 \\ 1 & -2 & 1 & 2-0 -2 -0 \\ 0 & 0 &-1 & -4+3+ 0 + 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{2} + w_{3} \)
\( \begin{bmatrix} 0 & 2& 0 & 2 -3 + 2 - 4 \\ 1 & -2 & 0 & -2 +3 - 2 + 4 \\ 0 & 0 & 1 & -4 +3 + 0 + 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{1} + w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 -0 + 0 - 0 \\ 1 & -2 & 0 & -2 +3 - 2 + 4 \\ 0 & 0 & 1 & -4 +3 + 0 + 4 \end{bmatrix} \)
Rozwiązanie ogólne układu \( U \)
\( \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1-\frac{3}{2}u + s +0 t \\ -4 +3u + 0s + 4t \\ u \\ s \\ t \end{bmatrix} u,\ \ s,\ \ t \in \rr. \)
Kładąc \( u= s = t = 0 \) - otrzymujemy pierwsze bazowe (podstawowe) rozwiązanie
\( \mathcal{B}_{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2073
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 492 razy
Re: Szukasz ogólnego rozwiązania tego układu
Korekta
\(U: \ \ \begin{cases} 0x_{1} +2x_{2}+ 0x_{3} +3x_{4} -2x_{5} + 4x_{6} = 2 \\ x_{1} - 2x_{2} - x_{3}+0x_{4}+2x_{5}+0x_{6} = 2 \\ x_{1}+ 0x_{2} - x_{3} +3x_{4}+ 0x_{5} +4x_{6} = 4 \end{cases} \)
Metoda Gaussa - Jordana
Sprowadzamy macierz tego układu do zredukowanej postaci schodkowej,
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{1} \leftrightarrow w_{2}\)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} - w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \end{bmatrix} \)
\( w_{2}\cdot \frac{1}{2}, \ \ w_{3}\cdot \frac{1}{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} - w_{2}\)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\( \det\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 1 \neq 0 \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 + 1 -0 -2 -0 \\ 0 &1 &1-0 -\frac{3}{2}+ 1 -2 \\ 0 & 0 & 0+0 + 0+0 \end{bmatrix} \)
\( w_{1}+2w_{2} \)
\( \begin{bmatrix}1 & 0 & 4+ 1 - 3 + 0 -4 \\ 0 & 1 & 1-0 -\frac{3}{2}+1 -2 \\ 0 & 0 & 0 + 0 +0 +0 \end{bmatrix} \)
Rozwiązanie ogólne układu \( U \)
\( \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 +s -3t +0u -4r \\ 1 -0s -\frac{3}{2}t -u -2r \\0\\0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} s,\ \ t,\ \ u \in \rr. \)
Kładąc \( u= s = t = r = 0 \) - otrzymujemy pierwsze bazowe (podstawowe) rozwiązanie
\( \mathcal{B}_{1} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\)
\(U: \ \ \begin{cases} 0x_{1} +2x_{2}+ 0x_{3} +3x_{4} -2x_{5} + 4x_{6} = 2 \\ x_{1} - 2x_{2} - x_{3}+0x_{4}+2x_{5}+0x_{6} = 2 \\ x_{1}+ 0x_{2} - x_{3} +3x_{4}+ 0x_{5} +4x_{6} = 4 \end{cases} \)
Metoda Gaussa - Jordana
Sprowadzamy macierz tego układu do zredukowanej postaci schodkowej,
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{1} \leftrightarrow w_{2}\)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} - w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \end{bmatrix} \)
\( w_{2}\cdot \frac{1}{2}, \ \ w_{3}\cdot \frac{1}{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} - w_{2}\)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\( \det\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 1 \neq 0 \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 + 1 -0 -2 -0 \\ 0 &1 &1-0 -\frac{3}{2}+ 1 -2 \\ 0 & 0 & 0+0 + 0+0 \end{bmatrix} \)
\( w_{1}+2w_{2} \)
\( \begin{bmatrix}1 & 0 & 4+ 1 - 3 + 0 -4 \\ 0 & 1 & 1-0 -\frac{3}{2}+1 -2 \\ 0 & 0 & 0 + 0 +0 +0 \end{bmatrix} \)
Rozwiązanie ogólne układu \( U \)
\( \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 +s -3t +0u -4r \\ 1 -0s -\frac{3}{2}t -u -2r \\0\\0 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} s,\ \ t,\ \ u \in \rr. \)
Kładąc \( u= s = t = r = 0 \) - otrzymujemy pierwsze bazowe (podstawowe) rozwiązanie
\( \mathcal{B}_{1} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.\)