Wykazać, że O(n) jest grupą

[kamillurpack]

Udowodnić, że \(O(n)=\{A\in M_{n\times n} (\mathbb{R}); AA^{T}=I\}\) jest grupą.

[Tulio]

Do określenia czy zbiór jest grupą musi być określone działanie, które będziemy analizować.
Tu z tego co rozumiem mamy tylko zbiór macierzy kwadratowych o wyrazach rzeczywistych takich, że ich iloczyn z macierzą transponowaną jest równy macierzy jednostkowej - jest to opis zbioru. Jakie działanie?

[kamillurpack]

Z mnożeniem

[Tulio]

Musisz sprawdzić czy wszystkie warunki na bycie grupą są spełnione.
1. Czy mnożenie takich dwóch macierzy jest taką macierzą?
Niech \(A_3\) będzie iloczynem macierzy \(A_1\) i \(A_2\) ze zbioru \(A\), wtedy:
\(I = A_1^T A_1 = * = A_1^T \left( A_2^T A_2\right) A_1 = A_1^T A_2^T A_2 A_1 = \left( A_1 A_2\right)^T A_1 A_2 = A_3^T A_3\)
Co należało dowieść (co do pierwszego warunku).
Gwiazdką oznaczyłem fakt, że macierz \(I\) (u nas iloczyn, który daje \(I\)) mogę wstawić w dowolne miejsce w ciągu iloczynów macierzy.
Dodatkowo skorzystałem z faktu, że:
\(A_1 A_2 = I = A_2 A_1\)

Analogicznie (i dosyć długo) pozostałe warunki na grupę.

[janusz55]

Zbiór \( O_{n} = \{ A\in M_{n\times n}(\rr): A\cdot A^{T} = I \} \) - kwadratowych macierzy ortogonalnych \( n\times n \) o elementach rzeczywistych, jest grupą abelową zamkniętą ze względu na działanie mnożenia macierzy i brania macierzy odwrotnej.

1.
\( (AB)\cdot (AB)^{T} = A\cdot B\cdot B^{T}\cdot A^{T} = A\cdot I \cdot A^{T} = A\cdot A^{T} = I.\)

2.
Element neutralny
\( I \cdot I^{T} = I^{T}\cdot I = I \Longrightarrow I \in O(n)\)

3.
Element odwrotny
\( A^{-1}\cdot (A^{-1})^{T} = A^{-1}\cdot (A^{T})^{-1} = (A\cdot A^{T})^{-1} = I^{-1} = I.\)

4.
Łączność elementów grupy z własności łączności mnożenia macierzy
\( AA^{T}\cdot ( BB^{T}\cdot CC^{T}) = I\cdot (I\cdot I) = I\cdot I^2 = I^3 = I = (AA^{T}\cdot BB^{T})\cdot CC^{T} = (I\cdot I)\cdot I = I^2\cdot I = I^3=I. \)

5.
Grupa abelowa (przemienna)
\( (A\cdot A^{T}) \cdot (B\cdot B^{T}) =(B\cdot B^{T}) \cdot (A\cdot A^{T}) = I\cdot I = I. \)

Grupa \( O(n) \) jest podgrupą grup ortogonalnych \( GL(n, \rr).\)