wątpliwość co do metody rozwiązania zadania dowodowego.

[Maciek32]

czy ma sens określenia np. \(a=1-b\) i podstawienie go do wyrażeń w ułamkach? Później dojścia do równania wielomianowego itd.

[Jerry]

Nikt Ci nie zabroni, ale... ja bym wykorzystał nierówność pomiędzy średnimi arytmetyczną i harmoniczną:
\[\dfrac{{1\over 2a+b}+{1\over a+2b}}{2}\ge\dfrac{2}{{1\over{1\over 2a+b}}+{1\over{1\over a+2b}}}\qquad|\cdot2\\
{1\over 2a+b}+{1\over a+2b}\ge\frac{4}{(2a+b)+(a+2b)}=\frac{4}{3(a+b)}={4\over3\cdot1}\\\text{CKD}\]
Pozdrawiam

[Jerry]

I po Twojemu:
Dla \(a\in(0;1)\) spełniającego warunki zadania mamy:
\[{1\over 2a+b}+{1\over a+2b}={1\over 2a+1-a}+{1\over a+2(1-a)}={1\over a+1}+{1\over2- a}={3\over2+a-a^2}\]
Aby wskazać najmniejszą wartość tego wyrażenia, wystarczy wskazać największą wartość jego mianownika...

Pozdrawiam