Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

[kamil199694]

Korzystając z twierdzenia Cayleya-Hamiltona wyznacz liczby \(a,b,c\in\mathbb{R}\) takie, że \(A^{1000}=aA^2+bA+cI\), gdzie \(A=\begin{bmatrix}
2 & 2 & 3\\
1 & 3 & 3\\
-1 & 2 & 2
\end{bmatrix}.\)

[janusz55]

1.
Znajdujemy wielomian charakterystyczny macierzy: \( p(\lambda) = \det( A -\lambda I).\)

2.
Obliczamy pierwiastki wielomianu charakterystycznego (wartości własne macierzy).

3.
Znajdujemy wektory własne macierzy i ustawiamy je w kolumny, tworząc macierz diagonalizującą \( P\) macuerzy \(A.\)

4.
Znajdujemy macierz odwrotną macierzy diagonalizującej \( P^{-1}.\)

5.
Znajdujemy setną potęgę macierzy \( A \) z równania:

\( A^{100} = P\cdot D^{100}\cdot P^{-1}, \ \ D - \) jest macierzą diagonalną, zawierającą setne potęgi wartości własnych macierzy \( A .\)

6.
Tworzymy trójmian macierzowy \( a\cdot A^2 + b\cdot A + c\cdot I. \)

7.
Obliczamy wartości współczynników \(a, b, c\) porównując elementy macierzy lewej i prawej strony.