II aksjomat przeliczalnośći
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
toredd
II aksjomat przeliczalnośći
Pokazać, że zbiór R2 z topologią generowaną przez metrykę "rzekę" nie spełnia II aksjomatu przeliczalności (przestrzeń ta nie ma przeliczalnej bazy).
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2038
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: II aksjomat przeliczalnośći
Metryka "rzeka":
\( d_{r} = \begin{cases} |y_{1}-y_{2}|, \ \ \text{gdy} \ \ x_{1}=x_{2} \\ |y_{1}|+|y_{2}|+ |x_{1}-x_{2}, \ \ \text{gdy} \ \ x_{1} \neq x_{2}. \end{cases} \)
Wystarczy wykazać, że płaszczyzna \( \rr^2 \) z topologią \(\tau(d_{r}) \) generowaną przez metrykę "rzeka" nie jest przestrzenią ośrodkową.
Istnieje bowiem rodzina kul parami rozłącznych na przykład \( \{\mathcal{B}(x,2), 1 \} \) dla \( x\in \rr \) mocy continuum.
Jeśli istniał by przeliczalny zbiór gęsty, to zawarty byłby w każdej z tych kul, czyli musiał on by mieć moc continuum - sprzeczność
Z definicji przestrzeni ośrodkowej wynika, że zbiór \( \rr^2 \) z topologią generowaną przez metrykę "rzeka" nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności - nie ma przeliczalnej bazy.
\( d_{r} = \begin{cases} |y_{1}-y_{2}|, \ \ \text{gdy} \ \ x_{1}=x_{2} \\ |y_{1}|+|y_{2}|+ |x_{1}-x_{2}, \ \ \text{gdy} \ \ x_{1} \neq x_{2}. \end{cases} \)
Wystarczy wykazać, że płaszczyzna \( \rr^2 \) z topologią \(\tau(d_{r}) \) generowaną przez metrykę "rzeka" nie jest przestrzenią ośrodkową.
Istnieje bowiem rodzina kul parami rozłącznych na przykład \( \{\mathcal{B}(x,2), 1 \} \) dla \( x\in \rr \) mocy continuum.
Jeśli istniał by przeliczalny zbiór gęsty, to zawarty byłby w każdej z tych kul, czyli musiał on by mieć moc continuum - sprzeczność
Z definicji przestrzeni ośrodkowej wynika, że zbiór \( \rr^2 \) z topologią generowaną przez metrykę "rzeka" nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności - nie ma przeliczalnej bazy.