prośba o pomoc w rozwiązaniu
Zadania całka krzywa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2038
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: Zadania całka krzywa
Sprawdzamy, czy pole \( [P(x,y), Q(x,y)] \) jest potencjalne:
\( \begin{cases} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} = -32xy^3 \\ \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} = -32xy^3 \end{cases} \)
Pole jest polem potencjalnym, znajdujemy jego funkcję potencjału \( F(x,y).\)
W tym celu musimy rozwiązać układ równań różniczkowych-cząstkowych:
\( \begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = -8xy^4 -12x^3 \ \ (1)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = -16x^2 y^3 -6y^3 \ \ (2) \end{cases} \)
Całkujemy na przykład równanie \( (1) \) względem zmiennej \( x \) przy założeniu, że \( y \) jest stałe.
Mamy wtedy
\( F(x,y) = -\frac{8x^2}{2} y^4 -12 \frac{x^4}{4} + \phi(y) = -4x^2y^4 -3x^4 + \phi(y) \ \ (3) \)
gdzie \( \phi(y) \) jest dowolną funkcją różniczkowalną spełniającą rolę stałej dowolnej.
Różniczkujemy następnie cząstkowo równanie \( (3) \)względem zmiennej \( y \)
\( \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}= -16x^2y^3 -12x^3 + \phi'(y) \ \ (4) \)
Porównujemy prawe strony równań \( (4) \) i \( (2) \)
\( -16x^2y^3 -12x^3 + \phi'(y) = -16x^2 y^3 -6y^3 \)
\( \phi'(y) = 12x^3 -6y^3 \ \ \)
Całkujemy względem \( y \)
\( \phi(y) = 12x^3y - 6\frac{y^4}{4} + C = 12x^3y -\frac{3}{2}y^4 + C \ \ (5)\)
Podstawiając \( (5) \) do \( (3) \) otrzymujemy szukaną funkcję potencjału
\( F(x,y) = -4x^2 y^4 -3x^4 +12x^2y^3 -\frac{3}{2}y^4 + C. \)
Wartość całki
\( \int_{A}^{B} P(x,y)dx +Q(x,y)dy = \int_{(1,-2)}^{(2,2)} (-8xy^4-12x^3)dx + (-16x^2y^3 -6y^3)dy = F(2,2) - F(1,-2) = \)
\( = \left[ -4x^2y^4 -3x^4 +12x^2y^3 - \frac{3}{2}y^4 \right]_{(1,-2)}^{(2,2)} = \)
\( = -4\cdot 2^2\cdot 2^4 -3\cdot 2^4 +12\cdot 2^2 \cdot 2^3 - \frac{3}{2}\cdot 2^4 + 4\cdot1^2\cdot(-2)^4 +3\cdot(1)^4 -12\cdot 1^2 (-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^4 = -256 -48 +384 -24 +64 +3 +96 +24 = 243.\)
C) Brak poprawnej odpowiedzi.
\( \begin{cases} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} = -32xy^3 \\ \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} = -32xy^3 \end{cases} \)
Pole jest polem potencjalnym, znajdujemy jego funkcję potencjału \( F(x,y).\)
W tym celu musimy rozwiązać układ równań różniczkowych-cząstkowych:
\( \begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = -8xy^4 -12x^3 \ \ (1)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = -16x^2 y^3 -6y^3 \ \ (2) \end{cases} \)
Całkujemy na przykład równanie \( (1) \) względem zmiennej \( x \) przy założeniu, że \( y \) jest stałe.
Mamy wtedy
\( F(x,y) = -\frac{8x^2}{2} y^4 -12 \frac{x^4}{4} + \phi(y) = -4x^2y^4 -3x^4 + \phi(y) \ \ (3) \)
gdzie \( \phi(y) \) jest dowolną funkcją różniczkowalną spełniającą rolę stałej dowolnej.
Różniczkujemy następnie cząstkowo równanie \( (3) \)względem zmiennej \( y \)
\( \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}= -16x^2y^3 -12x^3 + \phi'(y) \ \ (4) \)
Porównujemy prawe strony równań \( (4) \) i \( (2) \)
\( -16x^2y^3 -12x^3 + \phi'(y) = -16x^2 y^3 -6y^3 \)
\( \phi'(y) = 12x^3 -6y^3 \ \ \)
Całkujemy względem \( y \)
\( \phi(y) = 12x^3y - 6\frac{y^4}{4} + C = 12x^3y -\frac{3}{2}y^4 + C \ \ (5)\)
Podstawiając \( (5) \) do \( (3) \) otrzymujemy szukaną funkcję potencjału
\( F(x,y) = -4x^2 y^4 -3x^4 +12x^2y^3 -\frac{3}{2}y^4 + C. \)
Wartość całki
\( \int_{A}^{B} P(x,y)dx +Q(x,y)dy = \int_{(1,-2)}^{(2,2)} (-8xy^4-12x^3)dx + (-16x^2y^3 -6y^3)dy = F(2,2) - F(1,-2) = \)
\( = \left[ -4x^2y^4 -3x^4 +12x^2y^3 - \frac{3}{2}y^4 \right]_{(1,-2)}^{(2,2)} = \)
\( = -4\cdot 2^2\cdot 2^4 -3\cdot 2^4 +12\cdot 2^2 \cdot 2^3 - \frac{3}{2}\cdot 2^4 + 4\cdot1^2\cdot(-2)^4 +3\cdot(1)^4 -12\cdot 1^2 (-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^4 = -256 -48 +384 -24 +64 +3 +96 +24 = 243.\)
C) Brak poprawnej odpowiedzi.
-
maria19
- Stały bywalec
- Posty: 425
- Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
- Podziękowania: 347 razy
- Otrzymane podziękowania: 98 razy
Re: Zadania całka krzywa
Po podstawieniu \(F(x,y)= -4x^2y^4-3x^4-1,5y^4 +C\) wartość całki wyniesie -237 więc nadal odp. C
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2038
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: Zadania całka krzywa
Korekta
Sprawdzamy, czy pole \( [P(x,y), Q(x,y)] \) jest potencjalne:
\( \begin{cases} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} = -32xy^3 \\ \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} = -32xy^3 \end{cases} \)
Pole jest polem potencjalnym, znajdujemy jego funkcję potencjału \( F(x,y).\)
W tym celu musimy rozwiązać układ równań różniczkowych-cząstkowych:
\( \begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = -8xy^4 -12x^3 \ \ (1)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = -16x^2 y^3 -6y^3 \ \ (2) \end{cases} \)
Całkujemy na przykład równanie \( (1) \) względem zmiennej \( x \) przy założeniu, że \( y \) jest stałe.
Mamy wtedy
\( F(x,y) = -\frac{8x^2}{2} y^4 -12 \frac{x^4}{4} + \phi(y) = -4x^2y^4 -3x^4 + \phi(y) \ \ (3) \)
gdzie \( \phi(y) \) jest dowolną funkcją różniczkowalną spełniającą rolę stałej dowolnej.
Różniczkujemy następnie cząstkowo równanie \( (3) \) względem zmiennej \( y \)
\( \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}= -16x^2y^3 + \phi'(y) \ \ (4) \)
Porównujemy prawe strony równań \( (4) \) i \( (2) \)
\( -16x^2y^3 + \phi'(y) = -16x^2 y^3 -6y^3 \)
\( \phi'(y) = -6y^3 \ \ \)
Całkujemy względem \( y \)
\( \phi(y) = - 6\frac{y^4}{4} + C = -\frac{3}{2}y^4 + C \ \ (5)\)
Podstawiając \( (5) \) do \( (3) \) otrzymujemy szukaną funkcję potencjału
\( F(x,y) = -4x^2 y^4 -3x^4 - \frac{3}{2}y^4 + C. \)
Wartość całki
\( \int_{A}^{B} P(x,y)dx +Q(x,y)dy = \int_{(1,-2)}^{(2,2)} (-8xy^4-12x^3)dx + (-16x^2y^3 -6y^3)dy = F(2,2) - F(1,-2) = \)
\( = \left[ -4x^2y^4 -3x^4 - \frac{3}{2}y^4 \right]_{(1,-2)}^{(2,2)} = \)
\( = -4\cdot 2^2\cdot 2^4 -3\cdot 2^4 - \frac{3}{2}\cdot 2^4 + 4\cdot1^2\cdot(-2)^4 +3\cdot(1)^4 + \frac{3}{2}(-2)^4 = -256 -48 -24 +64 +3 +24 = -237.\)
C) Brak poprawnej odpowiedzi.
Sprawdzamy, czy pole \( [P(x,y), Q(x,y)] \) jest potencjalne:
\( \begin{cases} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} = -32xy^3 \\ \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} = -32xy^3 \end{cases} \)
Pole jest polem potencjalnym, znajdujemy jego funkcję potencjału \( F(x,y).\)
W tym celu musimy rozwiązać układ równań różniczkowych-cząstkowych:
\( \begin{cases} \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} = -8xy^4 -12x^3 \ \ (1)\\ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y} = -16x^2 y^3 -6y^3 \ \ (2) \end{cases} \)
Całkujemy na przykład równanie \( (1) \) względem zmiennej \( x \) przy założeniu, że \( y \) jest stałe.
Mamy wtedy
\( F(x,y) = -\frac{8x^2}{2} y^4 -12 \frac{x^4}{4} + \phi(y) = -4x^2y^4 -3x^4 + \phi(y) \ \ (3) \)
gdzie \( \phi(y) \) jest dowolną funkcją różniczkowalną spełniającą rolę stałej dowolnej.
Różniczkujemy następnie cząstkowo równanie \( (3) \) względem zmiennej \( y \)
\( \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}= -16x^2y^3 + \phi'(y) \ \ (4) \)
Porównujemy prawe strony równań \( (4) \) i \( (2) \)
\( -16x^2y^3 + \phi'(y) = -16x^2 y^3 -6y^3 \)
\( \phi'(y) = -6y^3 \ \ \)
Całkujemy względem \( y \)
\( \phi(y) = - 6\frac{y^4}{4} + C = -\frac{3}{2}y^4 + C \ \ (5)\)
Podstawiając \( (5) \) do \( (3) \) otrzymujemy szukaną funkcję potencjału
\( F(x,y) = -4x^2 y^4 -3x^4 - \frac{3}{2}y^4 + C. \)
Wartość całki
\( \int_{A}^{B} P(x,y)dx +Q(x,y)dy = \int_{(1,-2)}^{(2,2)} (-8xy^4-12x^3)dx + (-16x^2y^3 -6y^3)dy = F(2,2) - F(1,-2) = \)
\( = \left[ -4x^2y^4 -3x^4 - \frac{3}{2}y^4 \right]_{(1,-2)}^{(2,2)} = \)
\( = -4\cdot 2^2\cdot 2^4 -3\cdot 2^4 - \frac{3}{2}\cdot 2^4 + 4\cdot1^2\cdot(-2)^4 +3\cdot(1)^4 + \frac{3}{2}(-2)^4 = -256 -48 -24 +64 +3 +24 = -237.\)
C) Brak poprawnej odpowiedzi.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2038
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: Zadania całka krzywa
Metoda druga
Po sprawdzeniu, że pole \( [P(x,y), Q (x,y) ] \) jest polem potencjalnym:
\( \frac{\partial P}{\partial y}(x,y) = -32xy^3 = \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y),\)
funkcję potencjału \( F(x,y) \) możemy wyznaczyć, korzystając z faktu, że całka krzywoliniowa nie zależy od drogi całkowania.
Obieramy punkt początkowy na przykład \(( x_{0}, y_{0}) = (0, 0). \)
Całkę łączącą punkt \( (0, 0 ) \) z punktem \( (x,y) \) obliczamy po linii łamanej: \( [(0,0), (x, 0), ( x,y)]:\)
\( \int_{(0,0)}^{(x,y)} (-8s^4t -12t^3)dt + (-16t^2s^3 - 6s^3)ds = \int_{0}^{x}(-8\cdot 0 ^4\cdot t -12t^3)dt + \int_{0}^{y} (-16x^2s^2 -6s^3)ds = \left[ -12\frac{t^4}{4} \right]_{0}^{x} + \left[ -16\frac{x^2s^4}{4} - \frac{6s^4}{4}\right]_{0}^{y} = \)
\( = \left[ -3t^4 \right]_{0}^{x} + \left[ -4x^2s^4 -\frac{3}{2}s^4\right]_{0}^{y} = -3x^4 - 4x^2y^4 -\frac{3}{2}y^4 . \)
\( F(x, y) = -3x^4 - 4x^2y^4 -\frac{3}{2}y^4 . \)
Po sprawdzeniu, że pole \( [P(x,y), Q (x,y) ] \) jest polem potencjalnym:
\( \frac{\partial P}{\partial y}(x,y) = -32xy^3 = \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y),\)
funkcję potencjału \( F(x,y) \) możemy wyznaczyć, korzystając z faktu, że całka krzywoliniowa nie zależy od drogi całkowania.
Obieramy punkt początkowy na przykład \(( x_{0}, y_{0}) = (0, 0). \)
Całkę łączącą punkt \( (0, 0 ) \) z punktem \( (x,y) \) obliczamy po linii łamanej: \( [(0,0), (x, 0), ( x,y)]:\)
\( \int_{(0,0)}^{(x,y)} (-8s^4t -12t^3)dt + (-16t^2s^3 - 6s^3)ds = \int_{0}^{x}(-8\cdot 0 ^4\cdot t -12t^3)dt + \int_{0}^{y} (-16x^2s^2 -6s^3)ds = \left[ -12\frac{t^4}{4} \right]_{0}^{x} + \left[ -16\frac{x^2s^4}{4} - \frac{6s^4}{4}\right]_{0}^{y} = \)
\( = \left[ -3t^4 \right]_{0}^{x} + \left[ -4x^2s^4 -\frac{3}{2}s^4\right]_{0}^{y} = -3x^4 - 4x^2y^4 -\frac{3}{2}y^4 . \)
\( F(x, y) = -3x^4 - 4x^2y^4 -\frac{3}{2}y^4 . \)