Oblicz prawdopodobieństwo
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Oblicz prawdopodobieństwo
W pudełku znajduje się 30 piłeczek ponumerowanych liczbami 1,2,3,4...,30. Losujemy kolejno 2 piłeczki bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że druga wylosowana piłeczka jest oznaczona liczbą pierwszą, jeśli wiadomo, że pierwsza piłeczka była oznaczona liczbą nieparzystą. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1849
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: Oblicz prawdopodobieństwo
Losujemy kolejno bez zwracania dwie piłeczki z pudełka zawierającego \( 30 \) piłeczek ponumerowanych od \( 1 \) do \( 30.\)
Zakładamy, że wylosowanie każdej pary piłeczek jest jednakowo możliwe.
Zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest równy ilości wariacji bez powtórzeń ze zbioru trzydziestoelementowego elementowego po dwa elementy:
\( \Omega = \{\omega: \omega = f: \{ 1,2,...,30\} \rightarrow ( i, j ), \ \ i\neq j \ \ \wedge \ \ i, j \in \{1,2,...,30\} \} \)
Liczność zbioru \( \Omega \)
\( |\Omega| = \frac{30!}{(30-2)!} = \frac{30!}{28!} = 30\cdot 29.\)
Zbiór \( \{1,2, ... ,30 \} \) zawiera podzbiór liczb pierwszych \( A = \{ 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \}\), składający się z \( 10 \) liczb.
Zbiór \( \{1,2, ... ,30 \} \) zawiera podzbiór liczb nieparzystych \( B = \{ 1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29\}, \) składający się z \( 15 \) liczb.
Zbiór \( C = \{1, 9, 15, 21, 25, 27 \} \) zawiera sześć numerów piłeczek, które są liczbami nieparzystymi i nie pierwszymi.
Oznaczenie zdarzeń:
\( D - \) "druga wylosowana piłeczka jest oznaczona liczbą pierwszą".
\( E - \) " pierwsza piłeczka jest oznaczona liczbą nieparzystą".
Mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe \( P(D|E).\)
\( D = \{ \omega: \omega = g: \{ 1,2,..., 30\} \rightarrow \{ (1,2), (2,2) , (1,3), (2,3), ...., , (23, 29), (29,23)\} \)
Z twierdzenia o mnożeniu:
\( |D| = 6\cdot 10 + 9\cdot 9 .\)
\( E = \{ \omega: \omega = h: \{ 1,2,..., 30\} \rightarrow \{ (1,2), (3,2) , (1,5), (3,2), ...., , (23, 29), (29,23)\} \)
Z twierdzenia o mnożeniu:
\( |E| = 15\cdot 29. \)
Stąd
\( P(D|E) = \frac{6\cdot 10 + 9\cdot 9}{15\cdot 29}= \frac{3(2\cdot 10 + 3\cdot 9)}{3\cdot 5 \cdot 29} = \frac{47}{145}.\)
W wyniku kolejnego losowania bez zwracania dwóch piłeczek z pudełka zawierającego trzydzieści ponumerowanych piłeczek liczbami od jeden do trzydziestu, możemy oczekiwać, że w około \( 32\% \) ogólnej liczby wyników, jeśli za pierwszym razem wylosowaliśmy piłeczkę oznaczoną liczbą nieparzystą, to druga wylosowana piłeczka jest oznaczona liczbą pierwszą.
Zakładamy, że wylosowanie każdej pary piłeczek jest jednakowo możliwe.
Zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest równy ilości wariacji bez powtórzeń ze zbioru trzydziestoelementowego elementowego po dwa elementy:
\( \Omega = \{\omega: \omega = f: \{ 1,2,...,30\} \rightarrow ( i, j ), \ \ i\neq j \ \ \wedge \ \ i, j \in \{1,2,...,30\} \} \)
Liczność zbioru \( \Omega \)
\( |\Omega| = \frac{30!}{(30-2)!} = \frac{30!}{28!} = 30\cdot 29.\)
Zbiór \( \{1,2, ... ,30 \} \) zawiera podzbiór liczb pierwszych \( A = \{ 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \}\), składający się z \( 10 \) liczb.
Zbiór \( \{1,2, ... ,30 \} \) zawiera podzbiór liczb nieparzystych \( B = \{ 1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29\}, \) składający się z \( 15 \) liczb.
Zbiór \( C = \{1, 9, 15, 21, 25, 27 \} \) zawiera sześć numerów piłeczek, które są liczbami nieparzystymi i nie pierwszymi.
Oznaczenie zdarzeń:
\( D - \) "druga wylosowana piłeczka jest oznaczona liczbą pierwszą".
\( E - \) " pierwsza piłeczka jest oznaczona liczbą nieparzystą".
Mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe \( P(D|E).\)
\( D = \{ \omega: \omega = g: \{ 1,2,..., 30\} \rightarrow \{ (1,2), (2,2) , (1,3), (2,3), ...., , (23, 29), (29,23)\} \)
Z twierdzenia o mnożeniu:
\( |D| = 6\cdot 10 + 9\cdot 9 .\)
\( E = \{ \omega: \omega = h: \{ 1,2,..., 30\} \rightarrow \{ (1,2), (3,2) , (1,5), (3,2), ...., , (23, 29), (29,23)\} \)
Z twierdzenia o mnożeniu:
\( |E| = 15\cdot 29. \)
Stąd
\( P(D|E) = \frac{6\cdot 10 + 9\cdot 9}{15\cdot 29}= \frac{3(2\cdot 10 + 3\cdot 9)}{3\cdot 5 \cdot 29} = \frac{47}{145}.\)
W wyniku kolejnego losowania bez zwracania dwóch piłeczek z pudełka zawierającego trzydzieści ponumerowanych piłeczek liczbami od jeden do trzydziestu, możemy oczekiwać, że w około \( 32\% \) ogólnej liczby wyników, jeśli za pierwszym razem wylosowaliśmy piłeczkę oznaczoną liczbą nieparzystą, to druga wylosowana piłeczka jest oznaczona liczbą pierwszą.