Iloczyn skalarny

[kamil199694]

W przestrzeni \(\mathbb{R}[x]_2\) z iloczynem skalarnym \(\phi(p,q)=\int_{-1}^1 p(t)q(t) dt\) wyznacz odległość punktu \(w_1(x)=x^2-x+1\) od punktu \(w_2(x)=-x_2-3x+2\). Czy tutaj należy wyznaczyć wektor \(w=w_2-w_1\) i policzyć jego długość wykorzystując normę \(\lVert w\rVert_{\phi}=\sqrt{\phi(w,w)}=\sqrt{\frac{18}{5}}\)?

[janusz55]

Z definicji odległości w przestrzeni euklidesowej wielomianów drugiego stopnia \( (R[x]_{2}, \ \ \phi(p,q)) \) odległość \( d \) między wielomianami \( w_{1}(x), w_{2}(x) \) jest równa:

\(d(w_{1}(x), w_{2}(x)) = \sqrt{(w_{1}(x) - w_{2}(x))(w_{1}(x) - w_{2}(x))} = \sqrt{(w_{1}(x) -w_{2}(x))^2} = \sqrt{\int_{-1}^{1} \left[ w_{1}(x) - w_{2}(x)\right]^2 dx} = ... \)

[janusz55]

Odpowiedź: \( d( w_{1}(x), w_{2}(x)) = \sqrt{\frac{18}{5}}.\)