kąt w trójkącie

[inter]

Środkowa AD trójkąta ABC przecina okrąg wpisany (o środku O) w punktach X i Y. Wyznacz kąt XOY, jeśli AC = AB + AD.

[Jerry]

Z dokładnością do podobieństwa, dla uproszenia zapisu,:
Niech \(|AB|=1,\ |AC|=k\in(1; 3)\) (wniosek z istnienia pierwiastków w poniższych rachunkach). Wtedy, w skrócie,:

1. \(|AD|=k-1\),
2. przyjmijmy oznaczenia:

   

3. z \(\Delta ADC,\ \Delta ABD\) i tw. Carnota: \(\begin{cases}|AC|^2=\ldots\\|AB|^2=\ldots\end{cases}\So|CD|=|BD|=\sqrt{{-k^2+4k-1\over2}}\)
4. z \(\Delta ABD\) i tw. Carnota: \(\cos\beta={3k-5\over4}\)
5. 
   z "jedynki": \(\sin\beta={\sqrt{3(-3k^2+10k-3)}\over4}\)
6. z \(\Delta ABC\) i tw. Carnota: \(\cos2\gamma={3k^2-8k+3\over2k}\)
7. z "jedynki": \(\sin2\gamma=\frac{(k-1)\sqrt{3(-3k^2+10k-3)}}{2k}\)
8. z cosinusa kąta podwojonego:
   • \(\cos\gamma=\frac{\sqrt3(k-1)}{2\sqrt k}\)
   • \(\sin\gamma=\frac{\sqrt{-3k^2+10k-3}}{2\sqrt k}\)
9. z pola \(\Delta ABC\):
   \({1\over2}\cdot1\cdot k\cdot\sin2\gamma={1\over2}\cdot\left(1+k+2\sqrt{{-k^2+4k-1\over2}}\right)\cdot r\So r=\frac{(k+1)\sqrt{-3k^2+10k-3}(k+1-\sqrt{-2k^2+8k-2})}{2(k-1)}\)
10. z \(\Delta ANO\): \(|AO|={r\over\sin\gamma}=\frac{(k+1)\sqrt k(k+1-\sqrt{-2k^2+8k-2})}{k-1}\)
11. \(\sin\delta=\sin(\beta-\gamma)=\frac{\sqrt{-3k^2+10k-3}}{4\sqrt k}\)
12. z \(\Delta AOM\): \(|MO|=|AO|\cdot\sin\delta=\frac{(k+1)\sqrt{-3k^2+10k-3}(k+1-\sqrt{-2k^2+8k-2})}{4(k-1)}\)
13. z \(\Delta MOY\): \(\cos{\alpha\over2}={|MO|\over r}={1\over2}\So \alpha=120^\circ\)

Pozdrawiam
PS. Duże zagrożenie wystąpienia "bad-klick" , rachunki "po drodze" - policz samodzielnie

[anilewe_MM]

To moje ostatnie lajki na forum, ale musiałam!
@Jerry jesteś wielki!

[Maciek32]

A dlaczego \(AD=k-1\)?
I ktory kąt jest równy \(2 \gamma \)?

[Jerry]

A dlaczego \(AD=k-1\)?

Z przyjętych oznaczeń i treści zadania

...I ktory kąt jest równy \(2 \gamma \)?

\(2\gamma=|\angle BAC|\), bo \(O\) należy do dwusiecznej tego kąta.

Pozdrawiam