W trójkąt prostokątny równoramienny o prze- ciwprostokątnej a wpisujemy prostokąt jak na rysunku obok. Trzy mniejsze trójkąty, które po- wstały w ten sposób, są przystające. Następnie w każdy z trzech nowo powstałych trójkątów znów wpisujemy prostokąt i otrzymujemy dziewięć trójkątów przystających. Procedurę tę po- wtarzamy w nieskończoność. Niech \(S_n\) oznacza sumę pól prostokątów wpisanych w krokach od pierwszego do n-tego włącznie.
Wykaż że \( \Lim_{n\to\infty }S_n= \frac{a^2}{4} \)
Obliczyłem boki tych prostokątów. Później iloraz sumy szeregu tych pól \(q= \frac{3}{4} \) i sumę pól \(S_n= \frac {a^2 \sqrt{2} }{2} \). Tylko nie wiem jak granica tego szeregu ma być równa \(\frac{a^2}{4}\).
Dowód
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: Dowód
Niech \(a_n\) oznacza długości przeciwprostokątnych trójkątów powstałych w wyniku działania \(n\)-tej procedury (\(a_0=a\)), \(P_n\) - suma pól tych trójkątów (\(P_0={a^2\over4}\)). Wtedy
\[{a_n\over \sqrt2}=a_{n+1}+{a_{n+1}\over\sqrt2}\iff a_{n+1}=a_n\cdot(\sqrt2-1)\]
czyli trójkąty te są podobne w skali \(k=\sqrt2-1\) i
\[P_n=3^n\cdot P_0\cdot(\sqrt2-1)^{2n}\\
S_n=P_0-P_n=P_0\cdot\left[1-\left(3\cdot(\sqrt2-1)^2\right)^n\right]\nad{n\to\infty}{\longrightarrow}P_0\cdot(1-0)\]
bo \(3\cdot(\sqrt2-1)^2\approx 0,515\)
Pozdrawiam
[edited] wygląda na poprawne, ale... polecam moje![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
\[{a_n\over \sqrt2}=a_{n+1}+{a_{n+1}\over\sqrt2}\iff a_{n+1}=a_n\cdot(\sqrt2-1)\]
czyli trójkąty te są podobne w skali \(k=\sqrt2-1\) i
\[P_n=3^n\cdot P_0\cdot(\sqrt2-1)^{2n}\\
S_n=P_0-P_n=P_0\cdot\left[1-\left(3\cdot(\sqrt2-1)^2\right)^n\right]\nad{n\to\infty}{\longrightarrow}P_0\cdot(1-0)\]
bo \(3\cdot(\sqrt2-1)^2\approx 0,515\)
Pozdrawiam
[edited] wygląda na poprawne, ale... polecam moje
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
-
- Stały bywalec
- Posty: 258
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 20 razy
- Otrzymane podziękowania: 66 razy
- Płeć:
Re: Dowód
Tak, chociaż do pełni szczęścia brakuje jakiegoś dowodu, że \(q\) faktycznie jest stałe. To jest obliczyli \(q=\frac{a_2}{a_1}\), ale nawet niewiadomo czy \(\frac{a_3}{a_2}\) będzie tyle samo (tzn. wiadomo, ale nie napisali tego). Obliczeniowo jest w porządku.Maciek32 pisze: ↑09 cze 2024, 21:30 Czy to rozwiązanie jest okej?
https://skul.pl/matematyka/zadanie,45,a,pid,441918
Edit: Jerrego jest poprawne bo on zaznaczył tę "stałość" zmian.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 100
- Rejestracja: 14 mar 2023, 17:08
- Podziękowania: 46 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: Dowód
A jeszcze pytanie do tego. Dlaczego wymiary tego pierwszego prostokąta to nie \(\frac{a}{2 \sqrt{2} }\) i \(\frac{a}{2} \)?Maciek32 pisze: ↑09 cze 2024, 21:30 Czy to rozwiązanie jest okej?
https://skul.pl/matematyka/zadanie,45,a,pid,441918
-
- Stały bywalec
- Posty: 258
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 20 razy
- Otrzymane podziękowania: 66 razy
- Płeć:
Re: Dowód
Wymiary największego trójkąta prostokątnego:
\(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}, a\)
Trzy przystające, równoramienne trójkąty prostokątne mają przeciwprostokątną równą połowie przyprostokątnej najwięszego trójkąta prostokątnego. Czyli \(b=\frac{a}{2\sqrt{2}}\).
Licząc teraz przyprostokątne tych trójkątów otrzymujemy trójkąty:
\(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{2}}\)
Czyli tyle co podałeś. Nie mam pojęcia więc skąd ich wartości. Wygląda jakby wzięli inną wartość początkową przeciwprostokątnej (nie \(a\)). Na stronie którą podałeś jest tylko rozwiązanie, masz ich treść? Możliwe, że różnica wersji podręczników.
\(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}, a\)
Trzy przystające, równoramienne trójkąty prostokątne mają przeciwprostokątną równą połowie przyprostokątnej najwięszego trójkąta prostokątnego. Czyli \(b=\frac{a}{2\sqrt{2}}\).
Licząc teraz przyprostokątne tych trójkątów otrzymujemy trójkąty:
\(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{2}}\)
Czyli tyle co podałeś. Nie mam pojęcia więc skąd ich wartości. Wygląda jakby wzięli inną wartość początkową przeciwprostokątnej (nie \(a\)). Na stronie którą podałeś jest tylko rozwiązanie, masz ich treść? Możliwe, że różnica wersji podręczników.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3640
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1986 razy
Re: Dowód
Wg mnie - nie!
Przyprostokątną wyjściowego trójkąta wypełniają przyprostokątna jednego i przeciwprostokątna drugiego z przystających trójkątów (tak liczyłem w moim poprzednim poście).
Pozdrawiam