Wyznaczenie płaszczyzny stycznej do powierzchni w punkcie

[drapka09]

Powierzchnia S zadana jest równaniem \(r(u,v)=u \cos v \cdot i+u \sin v \cdot j+u \cdot k\).
\(0 \le u \le 1\)
\(0 \le v \le 2 \pi \)
Punkt \(P( -\frac{1}{2} , 0, \frac{1}{2})\)

\(r\) jest wektorem, tak samo jak \(i,j,k\) zadane w równaniu. Wyliczyłam pochodne po \(r(u)\) i \(r(v)\), dalej nie wiem jak się za to zabrać

[Tulio]

Nie jestem pewny czy powinno tam być \(u \cos{v}\cdot i\) czy \(u \cos{ \left( v\cdot i\right) }\) (nawias potrzebny jeśli to drugie). Zakładam pierwszy przypadek.
Pochodne:
\(r_u=i \cos{v} + j \sin{v}+k\)
\(r_v=iu \sin{v} + ju \cos{v}\)
Teraz należałoby znaleźć wartości \(u,v\) z punktu \(P\):
\( \begin{cases} x = u \cos{v} = -\frac{1}{2} \\ y = u \sin{v} = 0 \\ z = u = \frac{1}{2} \end{cases} \)
Wyliczasz \(v\), obliczasz wektory styczne w punkcie, piszesz równanie płaszczyzny stycznej.

PS. Dawno nie robiłem, trzeba sprawdzić.

[janusz55]

Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni w danym punkcie \( P(x_{0}, y_{0}, z_{0}) .\)

\( \pi: [ P(x,y, z) - P(x_{0}, y_{0}, z_{0}] \cdot \vec{n} = 0,\)

\( \vec{n} = \vec{r}_{|u}(u,v)\times \vec{r}_{|v}(u,v). \)

[janusz55]

Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni danej parametrycznie:

\( \pi: \left[(x,y,z)-\vec{r}(u_{0},v_{0})\right]\cdot \left[\vec{r}_{|u}\times \vec{r}_{|v}(u_{0},v_{0})\right].\)

Znajdujemy wartoości \( (u_{0}, v_{0}) \), odpowiadające współrzędnym punktu styczności \( P\left( -\frac{1}{2}, 0 , \frac{1}{2}\right).\)

\( \begin{cases} u = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\cos(v) = -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\sin(v)= 0. \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} u=\frac{1}{2}\\ \cos(v)=-1 \\ \sin(v) = 0 \end{cases} \leftrightarrow \left(\frac{1}{2}, \ \ \pi\right) .\)

\( \vec{r}(u_{0},v_{0}) = \vec{r} \left(\frac{1}{2}, \pi\right) = \left[\frac{1}{2}\pi, \ \ \frac{1}{2}\sin(\pi). \frac{1}{2}\right]. \)

\( \vec{r}_{|u} (u,v) = [\cos(v), \ \ \sin(v), \ \ 1], \ \ \vec{r}_{|v} (u,v) = [-u\sin(v), \ \ u\cos(v), \ \ 0].\)]

\( \vec{r}_{|u}\left(\frac{1}{2}, \pi\right) = [ \cos(\pi), \ \ \sin(\pi), \ \ 1] = [ -1, \ \ 0, \ \ 1]. \)

\( \vec{r}_{|v}\left(\frac{1}{2}, \pi\right) = [ -\frac{1}{2}\sin(\pi), \ \ \frac{1}{2}\cos(\pi), \ \ 0] = [ 0, \ \ -\frac{1}{2}, \ \ 0]. \)

\( \vec{r}_{|u}\times \vec{r}_{|v} \left(\frac{1}{2}, \pi\right) = \left[ \frac{1}{2}, \ \ 0, \ \ \frac{1}{2}\right].\)

Równanie płaszczyzny stycznej:

\( \pi: \ \ \left[ (x, \ \ y, \ \ z) - \left(-\frac{1}{2}, \ \ 0, \ \ \frac{1}{2}\right)\right] \cdot \left[ \frac{1}{2}, \ \ 0, \ \ \frac{1}{2} \right] \)

\( \pi: \ \ \left( x + \frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{2} + (y-0)\cdot 0 + \left(z -\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{2} = 0,\)

\( \pi: \ \ \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} +0 + \frac{1}{2}z -\frac{1}{4} = 0.\)

\(\pi: \ \ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}z = 0.\)

\( \pi: \ \ x + z = 0.\)

Uwaga:

Każdy wektor \( \vec{v} \) możemy określić, podając:

-jego współrzędne: \( \vec{v} = [v_{x}, \ \ v_{y}, \ \ v_{z}],\)

- kombinację liniową współrzędnych i wersorów osi prostokątnego układu współrzędnych: \( \vec{r}(\vec{v}) = v_{x}\cdot \vec{i} + v_{y}\cdot \vec{j} + v_{z}\cdot \vec{k}.\)

[janusz55]

Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni danej parametrycznie:

\( \pi: \left[(x,y,z)-\vec{r}(u_{0},v_{0})\right]\cdot \left[\vec{r}_{|u}\times \vec{r}_{|v}(u_{0},v_{0})\right].\)

Znajdujemy wartości \( (u_{0}, v_{0}) \), odpowiadające współrzędnym punktu styczności \( P\left( -\frac{1}{2}, \ \ 0 , \ \ \frac{1}{2}\right).\)

\( \begin{cases} u = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\cos(v) = -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\sin(v)= 0. \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} u=\frac{1}{2}\\ \cos(v)=-1 \\ \sin(v) = 0 \end{cases} \leftrightarrow \left(\frac{1}{2}, \ \ \pi\right) .\)

\( \vec{r}(u_{0},v_{0}) = \vec{r} \left(\frac{1}{2}, \pi\right) = \left[\frac{1}{2}\cos(\pi), \ \ \frac{1}{2}\sin(\pi), \ \ \frac{1}{2}\right]= \left[-\frac{1}{2}, \ \ 0, \ \ \frac{1}{2}\right] \)

\( \vec{r}_{|u} (u,v) = [\cos(v), \ \ \sin(v), \ \ 1], \ \ \vec{r}_{|v} (u,v) = [-u\sin(v), \ \ u\cos(v), \ \ 0].\)]

\( \vec{r}_{|u}\left(\frac{1}{2}, \pi\right) = [ \cos(\pi), \ \ \sin(\pi), \ \ 1] = [ -1, \ \ 0, \ \ 1]. \)

\( \vec{r}_{|v}\left(\frac{1}{2}, \pi\right) = [ -\frac{1}{2}\sin(\pi), \ \ \frac{1}{2}\cos(\pi), \ \ 0] = [ 0, \ \ -\frac{1}{2}, \ \ 0]. \)

\( \vec{r}_{|u}\times \vec{r}_{|v} \left(\frac{1}{2}, \pi\right) = \left[ \frac{1}{2}, \ \ 0, \ \ \frac{1}{2}\right].\)

Równanie płaszczyzny stycznej:

\( \pi: \ \ \left[ (x, \ \ y, \ \ z) - \left(-\frac{1}{2}, \ \ 0, \ \ \frac{1}{2}\right)\right] \cdot \left[ \frac{1}{2}, \ \ 0, \ \ \frac{1}{2} \right] \)

\( \pi: \ \ \left( x + \frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{2} + (y-0)\cdot 0 + \left(z -\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{2} = 0,\)

\( \pi: \ \ \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} +0 + \frac{1}{2}z -\frac{1}{4} = 0.\)

\(\pi: \ \ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}z = 0.\)

\( \pi: \ \ x + z = 0.\)

Uwaga:

Każdy wektor \( \vec{v} \) możemy określić, podając:

-jego współrzędne: \( \vec{v} = [v_{x}, \ \ v_{y}, \ \ v_{z}],\)

- kombinację liniową współrzędnych i wersorów osi prostokątnego układu współrzędnych: \( \vec{r}(\vec{v}) = v_{x}\cdot \vec{i} + v_{y}\cdot \vec{j} + v_{z}\cdot \vec{k}.\)