Zmienna losowa (X,Y)

[Nahuallii]

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej (X,Y) określona jest tabelą

| Y
X\(\begin{vmatrix}C& 0.1&0.1 \\ 0.1&C&0\\0.1&0&C \end{vmatrix}\)

f(-1, 0) = C
f(-1, 1) = 0.1
f(-1, 4) = 0.1

f(1, 0) = 0.1
f(1, 1) = C
f(1, 4) = 0

f(3, 0) = 0.1
f(3, 1) = 0
f(3, 4) = C


1. Oblicz \(Var=(\frac{3X-2Y}{6})\)
Czy dobrze rozumiem, że jeśli zmienne są zależne to mogę skorzystać ze wzoru \(Var(aX - bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) - 2abCov(X,Y)\)?
W takiej sytuacji:
E(X)=0,8
E(Y)=1,5
E(XY)=2,1
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=0,9
Var(X)=2,76
Var(Y)=2,85
i z tego \(Var=(\frac{3X-2Y}{6})=4,24\)
Byłabym wdzięczna za potwierdzenie/korekty

2. Oblicz \(E((X-Y)^{\sqrt{Y}}\)

[janusz55]

Dla dwóch zmiennych losowych niezależnych \( X, Y \)

\(Var(aX - bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y).\)

[Tulio]

Pytanie było o wzór na zmienne zależne - wzór jest poprawny, można z niego korzystać.

[janusz55]

Zadanie

Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej (wektora losowego) \( (X,Y) \) dana jest tabelą.

Tabela1:
\( \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
X\setminus Y & 0 & 1 & 4\\ \hline
-1 & C & 0,1 & 0,1 \\ \hline
1 & 0,1 & C & 0 \\ \hline
3 & 0,1& 0 & C \\ \hline
\end{array} \)

Proszę:

1)
wypełnić tabelę, obliczając wartość \( C.\)

2)
Sprawdzić, czy zmienne losowe \( X, Y \) są niezależne, czy zależne.

3)
Obliczyć wariancję \( Var\left(\frac{3X - 2Y}{6}\right). \)

4)
Obliczyć wartość oczekiwaną \( E\left((X-Y)^{\sqrt{Y}}\right).\)

Rozwiązanie

1)
Suma wartości prawdopodobieństw tabeli musi być równa \( 1 \)

\( \sum_{i,j} p_{ij} = C + 0,1 + 0,1 + 0,1 +C + 0 + 0,1 + 0 + C =1, \)

stąd

\( 3C + 4\cdot 0,1 = 1, \ \ 3C = 1 - 0,4 = 0,6, \ \ C = 0,2.\)

2)
Tabela2:
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
X\setminus Y & 0 & 1 & 4 & \Sigma \\ \hline
-1 & 0,2 & 0,1 & 0,1 & 0,4\\ \hline
1 & 0,1 & 0,2 & 0 & 0,3 \\ \hline
3 & 0,1& 0 & 0,2 & 0,3 \\ \hline
\Sigma & 0,4 & 0,3 & 0,3& 1 \\ \hline
\end{array} \)

Zmienne losowe są niezależne, gdy: \( \forall_{i,j\in\{1,2,3\}} \ \ p_{ij} = p_{i\cdot}\cdot p_{\cdot j}. \)

Sprawdzenie:
\( p_{11} = 0,2 \neq 0,16 = 0,4\cdot 0,4.\)

Zmienne losowe \( X, Y \) są zależne.

3)
Po sprawdzeniu, że zmienne losowe są zależne, korzystamy, ze wzoru \( Var(aX + bY) = a^2\cdot Var(X) + b^2\cdot Var(Y) -2a\cdot b\cdot Cov(X,Y).\)

Obliczamy kolejno:

\( Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \)

\( X\sim\{ (-1, \ \ 0,4), (1, \ \ 0,3) , (3, \ \ 0,3)\} \)

\( E(X)= -1\cdot 0,4 + 1\cdot 0,3 + 3\cdot 0,3 = -0,4 + 0,3 + 0,9 = 0,8.\)

\(E(X^2) = (-1)^2 \cdot 0,4 + 1^2\cdot 0,3 + 3^2\cdot 0,3 = 1\cdot 0,3 + 1 \cdot 0,3 + 9\cdot 0,3 = 0,3 + 0,3 +2,7 = 3,3,\)

\( Var(X) = 3,3 - 0,8 = 2,5.\)

\( Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 \)

\( Y\sim\{ (0, \ \ 0,4), (1, \ \ 0,3) , (4, \ \ 0,3)\} \)

\( E(Y)= 0\cdot 0,4 + 1\cdot 0,3 + 4\cdot 0,3 = 0 + 0,3 + 1,2 = 1,5.\)

\(E(Y^2) = (0)^2 \cdot 0,4 + 1^2\cdot 0,3 + 4^2\cdot 0,3 = 0 + 1 \cdot 0,3 + 16\cdot 0,3 = 0 + 0,3 + 4,8 = 5,1.\)

\( Var(Y) = 5,10 - 1,5^2 = 2,85.\)

\( E(X\cdot Y) = (-1)\cdot 0 \cdot 0,2 + (-1)\cdot 1\cdot 0,1 + (-1)\cdot 4\cdot 0,1 +1\cdot 0\cdot 0,1 +1\cdot 1 \cdot 0,2 + 1\cdot 4\cdot 0+3\cdot 0\cdot 0,1 +3\cdot 1 \cdot 0 + 3\cdot 0,4 \cdot 0,2 = \)

\( = 0 - 0,1 -0,4 +0 +0,2 +0 + 0 +2,4 = 2,1.\)

\( Cor(X,Y) = E(X\cdot Y) - [E(X)\cdot E(Y)] = 2,1 - 0,8\cdot 1,5 = 1,6.\)

\( Var\left(\frac{3X - 2Y}{6} \right) = \frac{3}{6}Var(X) + \frac{2}{6}Var(Y) - 2\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{2}{6}\cdot Cor(X,Y) = \frac{1}{2}\cdot 2,5 + \frac{1}{3}\cdot 2,85 - 2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot 1,6 = 1,(6) \approx 1,67.\)

4)
\( Z = E\left((X-Y)^{\sqrt{Y}}\right). \)