forum.zadania.info

Wykaż, że równanie nie ma rozwiązań w R
\(\sin2x+\sin{3\over2}x=2\)

Czy wystarczy to wykazać rysując wykres
\(\sin2x+\sin{3\over2}x=2\) ?

Wykres jest dowodem graficznym.

Dowód analityczny
Jeżeli suma dwóch sinusów ma być równać \( 2\), tzn., że musi być spełniony jednocześnie układ równań:

\( \begin{cases} \sin(2x)= 1 \\ \sin\left(\frac{3}{2}x\right) = 1\end{cases}. \)

Rozwiązując ten układ

\( \begin{cases} x = \frac{1}{4}\pi + k\pi \ \ k\in \zz, \\ x= \frac{1}{3}\pi + \frac{4}{3} k \pi, \ \ k\in \zz. \end{cases}.\)

Otrzymujemy sprzeczność

janusz55 pisze: ↑26 kwie 2024, 10:54 \( \begin{cases} x = \frac{1}{4}\pi + k\pi \ \ k\in \zz, \\ x= \frac{1}{3}\pi + \frac{4}{3} k \pi, \ \ k\in \zz. \end{cases}.\)
Otrzymujemy sprzeczność

Jeszcze nie! Powinno być
\[\begin{cases} x = \frac{1}{4}\pi + k_1\pi \wedge \ k_1\in \zz, \\ x= \frac{1}{3}\pi + \frac{4}{3} k_2 \pi \wedge \ k_2\in \zz. \end{cases}\]
bo równości mogą zachodzić w różnych okresach
Dopiero teraz trzeba wykazać, że równanie
\[\frac{1}{4}\pi + k_1\pi = \frac{1}{3}\pi + \frac{4}{3} k_2\pi\]
nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

Pozdrawiam

Wystarczy zauważyć, że równania nie mogą być spełnione jednocześnie dla danych okresów.

Masz rację , do pełności rozwiązania brakuje wykazanie, że równanie po przekształceniu wynikającym z porównania stron równań

\( 1 = 16k_{2}-12k_{1} \)

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

Dzięki!

Dziękuję. !