działanie macierze

[Filip25]

Oblicz \(X \cdot A \cdot B=C\) wiedząc, że
\(A=\begin{bmatrix}2 &4& 3\\1&6&2 \end{bmatrix} \)
\(B= \begin{bmatrix}1&2\\5&2\\0&1 \end{bmatrix} \)
\(C= \begin{bmatrix}1&3\\2&7\\1&2 \end{bmatrix} \)

[trollini]

Macierz \(A\) ma wymiary \(2 \times 3\), macierz \(B\) ma wymiary \(3 \times 2\). Liczba wierszy pierwszej macierzy jest równa liczbie kolumn drugiej macierzy, więc mnożenie macierzy jest wykonalne. W wyniku mnożenia powstanie macierz o wymiarach \(2 \times 2\).

\(A \cdot B=\begin{bmatrix}2&4&3\\1&6&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&2\\5&2\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}\)

\(X \cdot \begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\\1&2\end{bmatrix}\ / \cdot \nad{P}{\leftarrow}\ \begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}^{-1}\)

Wzór na macierz odwrotną do macierzy \(2 \times 2\):
\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix}d&{-b}\\{-c}&a\end{bmatrix} \)

\(\begin{bmatrix}22&15\\31&16\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{{22 \cdot 16}-{31 \cdot 15}} \begin{bmatrix}16&{-15}\\{-31}&22\end{bmatrix}= \frac{-1}{113}\begin{bmatrix}16&{-15}\\{-31}&22\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{ \frac{-16}{113} }&{ \frac{15}{113} }\\{ \frac{31}{113} }& \frac{-22}{113} \end{bmatrix} \)

\(X=\begin{bmatrix}1&3\\2&7\\1&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}{ \frac{-16}{113} }&{ \frac{15}{113} }\\{ \frac{31}{113} }& \frac{-22}{113} \end{bmatrix}= \ldots \)

W wyniku ostatniego mnożenia powstanie macierz o wymiarach \(3 \times 2\) i przy cierpliwości w działaniach na ułamkach będzie ostateczny wynik.

[janusz55]

Mamy rozwiązać równanie macierzowe.Nie obliczyć iloczyn macierzy. Iloczyn macierzy jest równy macierzy \( C.\)

\( X\cdot A\cdot B = C. \)

Mnożymy prawostronnie równanie przez iloczyn \( (A\cdot B)^{-1} \)

\( X\cdot (A\cdot B)\cdot(A\cdot B)^{-1} = C\cdot (A\cdot B)^{-1} \)

\( X\cdot I = C\cdot (A\cdot B)^{-1} \)

\( X = C\cdot (A\cdot B)^{-1} \)

\( X = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\cdot \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 5 & 2\\ 0 &1 \end{bmatrix} \right)^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 17 &14\\ 31 & 16 \end{bmatrix}^{-1}\)

\( \begin{bmatrix} 17 &14\\ 31 & 16 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det\begin{bmatrix} 17 &14\\31 & 16 \end{bmatrix}}\cdot \begin{bmatrix}16 &-31\\-14 & 17 \end{bmatrix}^{T} = \frac{1}{17\cdot 16-14\cdot 31}\cdot \begin{bmatrix}16 &-14\\-31 & 17 \end{bmatrix} =-\frac{1}{162} \begin{bmatrix}16 &-14\\-31 & 17 \end{bmatrix}\)

Stąd

\( X = -\frac{1}{162} \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}16 &-14\\-31 & 17 \end{bmatrix} =-\frac{1}{162}\begin{bmatrix} -77 & 37 \\ -185 & 91 \\ -46 &20 \end{bmatrix}.\)

Sprawdzamy, czy dla tak określonej macierzy \( X \) dany iloczyn macierzy - dane równanie macierzowe jest spełnione.

OCTAVE

Kod: Zaznacz cały

 
 >> [77/162,-37/162;185/162,-91/162;46/162,-20/162]*[2,3,4;1,6,2]*[1,2;5,2;0,1]
ans =

   1   3
   2   7
   1   2
 

[trollini]

Janusz55

W treści zadania w macierzy \(A\) kolejność liczb w pierwszym wierszu to \(2\ 4\ 3\) zaś w zaprezentowanym rozwiązaniu widzę kolejność \(2\ 3\ 4\). Czy to przypadkiem nie jest pomyłka?

Wówczas wynik wyszedłby taki, jak u mnie.

[janusz55]

Ta zmianakolumny macierzy \( A \) nie wpływa na wynik. Musi być spełnione równanie macierzowe. Jak wykazałem w programie OCTAVE lewa jego strona jest równa prawej - macierzy \( C.\)

Twoje rozwiązanie

OCTAVE

Kod: Zaznacz cały

                                                                                                                             
>> [1,3;2,7;1,2]*[-16/113,15/113;31/113,-22/113]*[2,4,3;1,6,2]*[1,2;5,2;0,1]
ans =

   1   3
   2   7
   1   2

też jest poprawne.