forum.zadania.info

Niech \(f:[-9,9]\to \rr \) będzie funkcją nieparzystą. Oblicz całkę:
\(\int_{-9}^{9}cos(x)* f(sinx) dx \)

Wiem, że możemy rozbić na dwie całki,ale nie do końca jestem pewna jak wykorzystać nieparzystość.

Dla \(f\) funkcji nieparzystej mamy, dla \(a>0\)
\[\int\limits_{-a}^0f(x)dx=-\int\limits_{0}^af(x)dx\]
Pozdrawiam

Dzielimy przedział \( [-9, 9]\) na przedziały

\( [-9, 9 ] = \left[ -9 , \frac{5}{2}\pi\right]\cup \left[ -\frac{5}{2}\pi, -2\pi\right] \cup \left[-2\pi, -\frac{3}{2}\pi\right ] \cup \left[-\frac{3}{2}\pi,-\pi\right] \cup \left[-\pi. -\frac{\pi}{2} \right] \cup \left[-\frac{\pi}{2}, 0 \right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi\right] \cup \left[\frac{3}{2}\pi, 2\pi\right]\cup \left[2\pi, \frac{5}{2}\pi\right] \cup \left[\frac{5}{2}\pi, 9\right] \)


Obliczamy wartość całki w każdym z tych przedziałów uwzględniając nieparzystość funkcji \( f(\sin(x)).\)

Jeśli ktoś nie zrozumiał mojego poprzedniego posta:
Funkcja \(y=g(x)=\cos x\cdot f(\sin x)\), przy przyjętym założeniu nieparzystości funkcji \(f\), jest nieparzysta, bo
\[\bigwedge\limits_{x\in[-9;9]} g(-x)=\cos(-x)\cdot f(\sin(-x))=\cos x\cdot f(-\sin x)=\cos x\cdot (-f(\sin x)=-g(x)\]
Zatem
\[\int\limits_{-9}^9g(x)\ dx=\int\limits_{-9}^0g(x)\ dx+\int\limits_{0}^9g(x)\ dx=0\]
bez zbędnych rachunków!

Pozdrawiam

Na podstawie definicji całki Lebesque'a-Newtona

Wartość całki z funkcji ciągłej i nieparzystej na przedziale symetrycznym względem osi prostokątnego układu współrzędnych jest równa zeru.

Dowód:

\(\int\limits_{-a}^0 g(x)dx + \int\limits_{0}^{a} g(x)dx = G(0)-G(a)+G(a) -G(0) = 0.\)

\( \Box \)