forum.zadania.info

Dzień dobry, jak rozwiązać takie zadanie?

\((y-1)\cdot y''=2(y')^2\)

Co mamy tutaj podstawić, jeżeli nie mamy żadnego x? Prosiłabym o wytłumaczenie.

Obawiam się, że bez zaznajomienia się samodzielnie z podstawami rachunku różniczkowego nie dasz rady.
Polecam Krysickiego, Włodarskiego - Analiza tom 2

Spoiler

y = f(x)

\( (y-1) y''=2(y')^2 \ \ (1) \)

Nie musi występować \( x, \) aby można było wykonać podstawienie.

Jest to równanie różniczkowe-zwyczajne drugiego rzędu nieliniowe.

Obniżamy, rząd równania o jeden podstawieniem \( z= y', \) przyjmując \( y \) za zmienną niezależną, mamy

\( y^{''} = \frac{dz}{dy} z \)

Równanie przyjmuje postać:

\( (y-1)\frac{dz}{dy}z = 2z^2\)

Upraszczamy przez \( z \) (równość \( z= 0 \) daje \( y = const, \) co odrzucamy, bo \( y \) przyjęliśmy za zmienną niezależną).

\( (y-1)\frac{dz}{dy} =2z.\)

Rozdzielamy zmienne

\(\frac{dz}{z} = \frac{2dy}{y-1} \)

Całkujemy obustronnie

\( \int \frac{dz}{z} = \int \frac{2}{y-1}dy, \)

Znajdujemy \( z \)

\( \ln|z|= 2\ln|y-1| + \ln(|a|) \)

\( \frac{z}{(y-1)^2} =a \)

Wracając do funkcji \( y \)

\( \frac{y'}{(y-1)^2} = a\)

Jest to całka pierwsza równania równania\( (1) \)

Całkując jeszcze, raz znajdujemy całkę ogólną (rozwiązanie ogólne) równania

\(\int \frac{y'}{(y-1)^2}dy = \int a dx \)

\( \frac{1}{1-y} = ax +b \)

Stąd

\( 1- y = \frac{1}{ax + b} \)

\( y (x) = 1 -\frac{1}{ax + b} \)

\( y(x) = \frac{ax + b - 1}{ax + b}. \)