forum.zadania.info

W trójkącie ABC punkt D(-3,1) dzieli bok AB w stosunku 1:2, licząc od wierzchołka A. Punkty M i N są odpowiednio środkami odcinków AC i DC oraz \(\vec{MN}=[2,-1]\). Wiedząc, że \(\vec{BC} =[-2,10]\), oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC.

Tak na początek:
Jeśli \(\vec{MN}=[2,-1]\), to \(\vec{AB}=[4,-2]\)
Możesz wskazać współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) z tego wektora, a znając punkt \(D\) - wzór dokładny prostej.
Z wektora zaś \(\vec{BC}=[-2,10]\) masz kąt przy wierzchołku \(B\).

Dalej nie wiem, na wakacjach jestem i tylko z telefonu piszę co umiem sobie wyobrazić.

Zrób schludny rysunek, zastrugaj wektory i zauważ, że

1. Odcinek \(\overline{MN}\) jest linią średnią \(\Delta ADC\), zatem \(\vec{AD}=2\cdot[2,-1]=[4,-2]\)
2. \(\vec{DA}=-\vec{AD}\So A(-3-4,1-(-1))\)
3. \(\vec{DB}=2\cdot\vec{AD}\So B(-3+2\cdot4,1+2\cdot(-2))\)
4. \(C(5+(-2),-3+10)\)

Pozdrawiam

Dane:
\( D = (-3,1),\)
\( \vec{MN}= [2,-1],\)
\( \vec{BC} = [2,10].\)

Obliczyć:
\( A = (x_{A},y_{A}), \ \ B= (x_{B},y_{B}), \ \ C = (x_{C},y_{C})\) -współrzędne wierzchołków trójkąta.

Rozwiązanie:
\( \vec{AD} = 2\cdot \vec{MN} \) (odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do boku trzeciego i równa się jego połowie)

\(\vec{AD} = 2\cdot [2,-1] = [4,-2] \)

\( \begin{cases} x_{A} + 4 = x_{D} \\ y_{A} + (-2) =y_{D} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_{A} + 4 = -3 \\ y_{A} +(-2) = 1 \end{cases} \)

\( A = (x_{A}, y_{A}) = (-7, 3).\)

\( \vec{DB} = 2\cdot \vec{AD} \)

\( \vec{DB} = 2\cdot [4.-2] = [8, -4].\)

\( \begin{cases} -3 + 8 = x_{B} \\ 1 +(-4) = y_{B} \end{cases} \)

\( B = (x_{B},y_{B}) = ( 5, -3) \)

\( \vec{BC} = [-2, 10] \)

\( \begin{cases} x_{B}+(-2) = x_{C}, \\ y_{B} + 10 = y_{C}, \end{cases}\)

\( \begin{cases} 5 +(-2) = x_{C} \\ -3 + 10 = y_{C} \end{cases} \)

\( C = (x_{C}, y_{C}) = (3, 7) \)