forum.zadania.info

Dany jest wielomian \(w (x) = x^3 + ax^2 + bx + 2\).
Dla jakich wartosci parametrów a i b liczba -1 jest pierwiastkiem podwójnym tego wielomianu?

Jeżeli liczba jest pierwiastkiem wielomianu, to wartość wielomianu dla tej liczby wynosi 0. Dwa razy stosujesz schemat Hornera. Za pierwszym razem reszta wyjdzie:
a - b + 1 = 0
Za drugim razem reszta to: 3a - 2b - 2 = 0.
Daje to układ równań, którego rozwiązaniem jest para:
a = 4 oraz b = 5.

Trzeba i wystarczy:
\[\begin{cases}w(-1)=0\\w'(-1)=0\end{cases}\iff \begin{cases}-1+a-b+2=0\\3-2a+b=0 \end{cases} \]
Pozdrawiam

Albo, bez pochodnej,:
\[x^3 + ax^2 + bx + 2\equiv (x+1)^2(x-p)\\
x^3 + ax^2 + bx + 2\equiv x^3+(2-p)x^2+(1-2p)x-p\\
\begin{cases}a=2-p\\b=1-2p\\2=-p\end{cases}\]

Pozdrawiam