Potęga - dowód

[anilewe_MM]

Udowodnij, że \( \left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)^\sqrt{7} \in \left( 2,3\right) \)

[Tulio]

Mamy do wykazania:
\( \left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)^\sqrt{7} > 2 \wedge \left( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)^\sqrt{7} < 3\)
w obu przypadkach obie strony są dodatnie - podnosimy do kwadratu otrzymując:
\( \left( \frac{2+2 \sqrt{6} +3}{5}\right)^\sqrt{7} > 4 \wedge \left( \frac{2+2 \sqrt{6} +3}{5}\right)^\sqrt{7} < 9\)
\( \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^\sqrt{7} > 4 \wedge \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^\sqrt{7} < 9\)
Weźmy prostszą nierówność do wykazania:
\( \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^\sqrt{7} < 9\)
Zauważmy, że: \(\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3\), czyli:
\( \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^\sqrt{7} < \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^3 = \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 \cdot \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right) = ... = \frac{485+198\sqrt{6}}{125} < \frac{485+198\sqrt{9}}{125} = 8 \frac{79}{125} < 9\)

Druga nierówność podobnie choć nie możemy aż tak szarżować w dół:
\(\left( 1 + \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^\sqrt{7} > 4\)
Zauważmy, że \(\sqrt{7} > 2.5\)
\(\left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^\sqrt{7} > \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^{2,5} = \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 \cdot \sqrt{ 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}} \)
Pierwszy czynnik:
\( \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = ... = \frac{49+20\sqrt{6}}{25}\)
Możesz udowodnić, że \(20\sqrt{6} > 41\), zatem:
\( \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = ... = \frac{49+20\sqrt{6}}{25} > \frac{90}{25} > 3,6\)
Wystarczy udowodnić, że:
\(\sqrt{ 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}} > 1,2\)
a to podnosimy do kwadratu i w zasadzie widzimy.
Co należało dowieść.

[Jerry]

Ja bym zaczął od porządku (równość nie zachodzi) pomiędzy średniki: kwadratową, arytmetyczną i geometryczną:
\[\sqrt{\frac{\sqrt3^2+\sqrt2^2}{2}}>\frac{\sqrt3+\sqrt2}{2}>\sqrt{\sqrt3\sqrt2}\qquad|\cdot2\\
\sqrt{10}>\sqrt3+\sqrt2>2\sqrt[4]6\qquad|:\sqrt5\\
\sqrt2>\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt5}>\sqrt[4]{\frac{96}{25}}\quad|^\sqrt7\\
\sqrt2^\sqrt7>\left(\frac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt5}\right)^\sqrt7>\sqrt[4]{\frac{96}{25}}^\sqrt7\]
Pozostaje wykazać
\[\sqrt2^\sqrt7<\sqrt2^3=\sqrt8<\sqrt9=3\]
oraz
\[\sqrt[4]{\frac{96}{25}}^\sqrt7>\sqrt[4]{\frac{96}{25}}^{5\over2}=\sqrt[8]{\frac{96}{25}}^5\approx2,32>2\]
co czyni zadość tezie zadania.

Pozdrawiam

[edited] poprawka bad-klick, Tulio : Dziękuję za zwrócenie uwagi!

[janusz55]

\( 2\sqrt{\frac{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2}{2}} \neq \sqrt{10}.\)

[Tulio]

\( 2\sqrt{\frac{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2}{2}} \neq \sqrt{10}.\)

Na pewno?
\( 2\sqrt{\frac{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2}{2}} = \sqrt{4\cdot \frac{3+2}{2}}\)

[janusz55]

Dziękuję Tulio.

\( \left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)^{\sqrt{7}} = \left(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{5} \right)^{\sqrt{7}} \ \ (*) \)

Stosując aproksymację do każdego elementu wyrażenia \( (*) \)

\( \approx \left(\frac{\frac{32}{10}+ \frac{39}{10}}{5}\right)^{\frac{27}{10}} = 2,58.\)

[Tulio]

Ostatnia metoda - Janusza - ma dwie wady:
1. Nie wiadomo jak bardzo przybliżyliśmy wynik - da się to (raczej) naprawić, ale to (też: raczej) ponad-licealna wiedza.
2. Potęgi \(\frac{27}{10}\) nie wykonamy na kalkulatorze prostym (maturalnym). Niemniej tutaj akurat można sobie poradzić, bowiem:
\(2 < \frac{27}{10} < 3\) i zarówno dla \(2\), jak i \(3\) wynik mieści się w podanym przedziale.

Nie wiem czy by przeszło na maturze bez 1 i wykazania wielkości błędu (bez)względnego. Natomiast można tak szybko sprawdzić czy teza w ogóle jest prawdziwa (np. gdyby zadanie brzmiało "Sprawdź czy" zamiast "Udowodnij").

PS. można by zawsze ograniczyć w stylu: skoro \(\sqrt{10} \approx \frac{32}{10}\), to wykonać dwa przypadki - mniejszego \(\frac{30}{10}\) i większego \(\frac{35}{10}\) - dla obu wyjdzie (w przedziale) i niejako z "trzech ciągów" mamy dowód.

[anilewe_MM]

Z kalkulatora naukowego
\(2,46826583\)
z prostego
\(2,4508294\) dla \(\sqrt{7}=\frac{21}{8}\)
\(2,5036984\) dla \(\sqrt{7}=\frac{43}{16}\)

[Tulio]

Wspólnie ze znajomym uprościliśmy moje rozwiązanie. Uproszczone:
(początek bez zmian)
\( \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^\sqrt{7} > 4 \wedge \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^\sqrt{7} < 9\)
Weźmy prostszą nierówność do wykazania:
\( \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^\sqrt{7} < 9\)
Zauważmy, że: \(\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3\) oraz \(\sqrt{6} < 2,5\) czyli:
\( \left( 1 + \frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^\sqrt{7} < \left( 1 + \frac{2\cdot 2,5}{5}\right)^3 = 2^3 = 8 < 9\)


Druga nierówność:
\(\left( 1 + \frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^\sqrt{7} > 4 |^2\)
\(\left( \frac{9+4\sqrt{5}}{5} \right)^\sqrt{7} > 16\)
Teraz korzystając z \(\sqrt{7}> 2,5\) oraz \(4\sqrt{5} > 8\) mamy:
\(\left( \frac{9+4\sqrt{5}}{5} \right)^\sqrt{7} > \left( \frac{9+8}{5}\right)^\sqrt{7} > \left( \frac{17}{5}\right)^{2,5} = \frac{289}{25} \sqrt{\frac{17}{5}} = \frac{289}{25}\sqrt{3,4}\)

Mając kalkulator prosty - skończyliśmy. Bez niego korzystamy z \(18^2=324\):
\(\frac{289}{25}\sqrt{3,4} > \frac{289}{25}\sqrt{3,24} = \frac{289}{25}\cdot 1,8 = \frac{289}{25}\cdot \frac{9}{5} > \frac{275}{25}\cdot \frac{9}{5}= \frac{99}{5} > \frac{95}{5} = 19 > 16\)