Strona 1 z 2
Trapez - dowód
: 28 mar 2024, 15:52
autor: anilewe_MM
Dany jest trapez o podstawach a i b opisany na okręgu o promieniu r. Wykaż, \(4r^2 \le ab\).
Re: Trapez - dowód
: 28 mar 2024, 20:20
autor: Jerry
Fakty, które wykorzystam a które znasz (?):
- Odcinki stycznych są równej długości.
-
Ze środka okręgu wpisanego w trapez jego ramiona są widoczne pod kątem prostym.
-
Długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną jest średnią geometryczną długości odcinków, na które spodek wysokości podzielił przeciwprostokątną.
-
Dla liczb dodatnich \(p,\ q\) zachodzi porządek \(2\sqrt{pg}\le (p+q)\).
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, wszystkie zmienne są dodatnie, z szybkimi wnioskami z 1. i 2.:
Z \(\Delta ASD,\ \Delta BCS\) i 3.:
\[\begin{cases}r=\sqrt{tz}\\ r=\sqrt{xy}\end{cases}\]
Zatem
\[L_T= 4r^2=4\sqrt{tz}\cdot\sqrt{xy}=4\sqrt{xyzt}=2\sqrt{tx}\cdot2\sqrt{yz}\nad{\text{z 4.}}{\le}(t+x)(z+y)=ab=P_T\quad \text{CKD} \]
Pozdrawiam
[edited] \(S\) jest środkiem okręgu - zgubiłem na rysunku
Re: Trapez - dowód
: 28 mar 2024, 20:58
autor: janusz55
Autor tego zadania przyjął drugą wersję definicji trapezu " czworokąta wypukłego mającego tylko jedną parę boków równoległych".
Dla równoległoboku powyższa równość nie zachodzi.
Oryginalna wersja rozwiązania zadania.
Re: Trapez - dowód
: 28 mar 2024, 23:18
autor: Tulio
janusz55 pisze: ↑28 mar 2024, 20:58
Dla równoległoboku powyższa równość nie zachodzi.
Nierówność. Zachodzi. Napisane jest "opisany na okręgu". Równoległobok może być opisany na okręgu tylko jeśli jest rombem (
\(2a=2b\)). Dla rombu podana nierówność zachodzi, więc autor nie musiał przyjmować definicji trapezu niebędącego równoległobokiem.
Re: Trapez - dowód
: 28 mar 2024, 23:38
autor: janusz55
Proszę o dowód.
Re: Trapez - dowód
: 29 mar 2024, 00:15
autor: Jerry
janusz55 pisze: ↑28 mar 2024, 20:58
Autor tego zadania przyjął drugą wersję definicji trapezu " czworokąta wypukłego mającego tylko jedną parę boków równoległych".
Proszę o źródło tej wiedzy.
janusz55 pisze: ↑28 mar 2024, 20:58
Dla równoległoboku powyższa równość nie zachodzi.
Dokładniej dla dowolnego rombu - równość nie zachodzi, nierówność - zachodzi. Równość zachodzi dla
kwadratu , który jest szczególnym przypadkiem trapezu w ogólnie przyjętej, nie niszowej, definicji.
janusz55 pisze: ↑28 mar 2024, 23:38
Proszę o dowód.
Czego? Tezy zadania - jest wyżej!
Zdrowia!
Re: Trapez - dowód
: 29 mar 2024, 00:21
autor: janusz55
To nie jest dowód tej tezy.
Dziękuję wzajemnie.
Re: Trapez - dowód
: 29 mar 2024, 01:12
autor: Jerry
Oświecisz nas, jak powinien wyglądać ten dowód, o Panie?
Re: Trapez - dowód
: 29 mar 2024, 07:35
autor: janusz55
Dzisiaj Wielki Piątek dzień ciemności - nie oświecenia.
https://www.youtube.com/watch?v=uLwDJPmL1sY
Re: Trapez - dowód
: 29 mar 2024, 09:26
autor: Tulio
Ale tam jest inne zadanie - z równością.
Re: Trapez - dowód
: 29 mar 2024, 09:31
autor: Tulio
janusz55 pisze: ↑28 mar 2024, 23:38
Proszę o dowód.
Dowód.
Dla dowolnego rombu mamy
\(a=b\). Musimy udowodnić
\(4r^2 \le ab\) (bo takie my mamy zadanie - inne niż na yt!). Czyli w rombie mamy pokazać:
\(4r^2 \le a^2\).
W rombie zachodzi
\(h=2r\) zaś z kąta ostrego rombu możemy zapisać
\(\sin \alpha = \frac{h}{a}\), czyli
\(h=a\cdot \sin \alpha \), gdzie
\(0< \sin \alpha < 1\).
Ostatecznie mamy:
\(4r^2 = \left( 2r\right)^2 = h^2 = a^2\cdot \sin^2 \alpha < a^2 <= a^2\)
Co należało dowieść.
Re: Trapez - dowód
: 29 mar 2024, 09:34
autor: Jerry
janusz55 pisze: ↑29 mar 2024, 07:35
Dzisiaj Wielki Piątek dzień ciemności - nie oświecenia.
Przykre...
Ale już wiemy, skąd wiedza i wcześniejsze hipotezy o "intencjach autora zadania"
Tylko rozwiązanie spod linku nie jest rozwiązaniem dyskutowanego w tym wątku zadania - porównaj, proszę, treści tych zadań i, ponawiam prośbę, zapoznaj nas ze
swoim rozwiązaniem.
Miłego dnia
Re: Trapez - dowód
: 29 mar 2024, 10:03
autor: Jerry
Jest jeden pozytyw z tej
burzy
Jerry pisze: ↑29 mar 2024, 00:15
... Równość zachodzi dla
kwadratu ...
co wynikało w moim dowodzie z równości \(t=x\) i \(z=y\) w nierówności pomiędzy średnimi (4.) i było moją nadinterpretacją. Przepraszam. Powinno być, choć treść zadania tego nie oczekuje,:
Równość zachodzi dla trapezu równoramiennego.
Pozdrawiam
Re: Trapez - dowód
: 29 mar 2024, 10:23
autor: janusz55
Rozwiązując to zadanie z nierównością a nie tylko z równością powinno się uwzględnić drugi przypadek - w dowodzie tego zabrakło.
Re: Trapez - dowód
: 29 mar 2024, 10:30
autor: Tulio
janusz55 pisze: ↑29 mar 2024, 10:23
Rozwiązując to zadanie z
nierównością a nie tylko z równością powinno się uwzględnić drugi przypadek - w dowodzie tego zabrakło.
Jaki jest drugi przypadek? Przecież dowód Jerrego działa również dla równoległoboku (rombu) więc go uwzględnia.