Nie mam pojecia jak to wykonać
Wyprowadzić wzory na średnią i wariancję w rozkładzie Poissona.
bardzo prosze o pomoc bo potrzebuje bardzo rozwiazania tego zadania
rozklad poissona
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2038
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: rozklad poissona
\( P(k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}, \ \ k= 0,1,2,...\)
\( m = \sum_{k=0}^{\infty} ke^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\lambda \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}= e^{-\lambda}\lambda \sum_{l=0}^{\infty} \frac{\lambda^{l}}{l!} = e^{-\lambda}\lambda e^{\lambda} = \lambda.\)
Aby znaleźć wariancję \( \sigma^2 \) rozkładu obliczymy najpierw jego drugi moment zwykły \( m_{2}\) i odejmiemy kwadrat wartości oczekiwanej.
\( m_{2}= \sum_{k=0}^{\infty} k^2\frac{\lambda^{k}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} ke^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} + \lambda = e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{l=0}^{\infty} \frac{\lambda^{l}}{l!} +\lambda = e^{-\lambda}\lambda^2e^{\lambda}+\lambda = \lambda^2 +\lambda. \)
\( \sigma^2 = m_{2} - m^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda.\)
\( m = \sum_{k=0}^{\infty} ke^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\lambda \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}= e^{-\lambda}\lambda \sum_{l=0}^{\infty} \frac{\lambda^{l}}{l!} = e^{-\lambda}\lambda e^{\lambda} = \lambda.\)
Aby znaleźć wariancję \( \sigma^2 \) rozkładu obliczymy najpierw jego drugi moment zwykły \( m_{2}\) i odejmiemy kwadrat wartości oczekiwanej.
\( m_{2}= \sum_{k=0}^{\infty} k^2\frac{\lambda^{k}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} + \sum_{k=0}^{\infty} ke^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} + \lambda = e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{l=0}^{\infty} \frac{\lambda^{l}}{l!} +\lambda = e^{-\lambda}\lambda^2e^{\lambda}+\lambda = \lambda^2 +\lambda. \)
\( \sigma^2 = m_{2} - m^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda.\)