Strona 1 z 1
Zadanie z prawdopodobieństwa
: 24 mar 2024, 22:14
autor: Lucasso
Rzucamy czterokrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy dokładnie dwie dwójki lub dokładnie dwie piątki. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Ja zrobiłem to w ten sposób i nie wiem dlaczego mi brakuje 6 rozwiązań i nie wiem dlaczego :
dwie 2 możemy wybrać na 4/2 sposoby co daje z kombinacji 12 i jedną piątkę na 2 miejscach możemy ustawić i ostatnią dowolną liczbę na 4 co daje 6*2*4 , potem kolejny przypadek , że mając dwie dwójki , pozostałe 2 liczby są inne niż 2 i 5 co daje 6*4*4 , tam samo z piątkami , 2 piątki i jedna 2 i 1 dowolna liczba to 6*2*4 , dwie piątki i 2 dowolne liczby to daje 6*4*4 a wiec suma :
6*2*4*2+6*4*4*2=288 , a powinno wyjść 294 .
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 24 mar 2024, 22:18
autor: janusz55
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 24 mar 2024, 22:26
autor: Lucasso
Wiem , że jest takie rozwiązanie , ale nie rozumiem czego tą metodą nie wychodzi jak logika itd. są zachowane , jakich 6 rozwiązań brakuje.
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 24 mar 2024, 22:44
autor: janusz55
Jakich 6 rozwiązań brakuje? Nie zawsze logika jest sprzymierzeńcem bezbłędnego rozwiązywania zadań.
Ponadto \({4\choose 2} \) daje \( 6. \)
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 24 mar 2024, 23:03
autor: Lucasso
janusz55 pisze: ↑24 mar 2024, 22:44
Jakich 6 rozwiązań brakuje? Nie zawsze logika jest sprzymierzeńcem bezbłędnego rozwiązywania zadań.
Ponadto
\({4\choose 2} \) daje
\( 6. \)
Tak jest 6 w obliczeniach , a napisałem 12 , ale ja zrobiłem w ten sam sposób , ale bez odejmowania tylko wypisując te rozwiązania i wychodzi mi 288 przypadków , a powinno być 294 i nie wiem dlaczego wychodzi o 6 mniej , czego brakuje .
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 25 mar 2024, 00:50
autor: Lucasso
janusz55 pisze: ↑24 mar 2024, 22:44
Jakich 6 rozwiązań brakuje? Nie zawsze logika jest sprzymierzeńcem bezbłędnego rozwiązywania zadań.
Ponadto
\({4\choose 2} \) daje
\( 6. \)
Mógłbyś mi powiedzieć , co w moim rozwiązaniu jest nie tak , że wynik jest zły ? .
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 25 mar 2024, 10:15
autor: janusz55
Luccasso nie mam tak lotnego umysłu jak Twój i trudno mi odpowiedzieć na podstawie Twoich logicznych rozważań, dlaczego brakuje Ci \( 6 \) rozwiązań do szczęścia.
Może prześledźmy to zadanie od początku.
Rzucamy kolejno cztery razy uczciwą sześcienną kostką do gry.
Kolejność wykonywanych rzutów wyznacza nam czwórki uporządkowane.
Na przykład czwórka \( ( 1, 1, 3, 4) \) oznacza że w pierwszym rzucie wypadło 1 oczko w drugim rzucie 1 oczko w trzecim rzucie 3 oczka w czwartym rzucie 4 oczka. Mamy więć cztero-elementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru sześcio-elementowego
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych cztero-krotnego rzutu sześcienną kostką możemy zapisać jako
\( \Omega = \{\omega= (a, b, c, d): \ \ a, b, c, d \in \{1,2,3,4, 5, 6\} \} \)
Jego liczność
\( |\Omega| = W_{6}^{4} = 6^4= 1296.\)
Mamy znaleźć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń \(P( A \cup B) \)
gdzie:
\( A \) - zdarzenie "otrzymano dokładnie dwie dwójki"
\( B \) - zdarzenie " otrzymano dokładnie dwie piątki"
Jak wiemy
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).\)
Obliczamy kolejno liczności zbioru zdarzeń: \( A, B , A\cap B \)
Zauważmy, że zdarzeń z dokładnie dwiema dwójkami jest tyle samo co zdarzeń z dwiema piątkami, co zdarzeń dwiema jedynkami, ... co zdarzeń z dwiema szóstkami.
\(|A|:\)
Kolejność wyrzucenia dwóch dwójek nie ma znaczenia (aby były tylko dwie dwójki) na pozostałych dwóch miejscach mamy pięcio-elementowe wariacje z powtórzeniami (nie kombinacje, bo elementy mogą się powtarzać), więc
\( |A| = { 4 \choose 2}\cdot 5^2 = 6\cdot 25 = 150.\)
Tyle samo wynosi liczność zbioru \( B. \)
Powstaje pytanie, jaka jest liczność zbioru \( A \cap B, \) to znaczy ile jest takich czwórek, w których występują dokładnie dwie dwójki i dokładnie dwie czwórki ?
Tu znowu kolejność nie ma znaczenia, bo mamy mieć dwie dwójki i dwie czwórki w dowolnej kolejności.
Stąd
\( |A\cap B| = {4\choose 2} = \frac{4\cdot 3}{1\cdot 2} = \frac{12}{2}= 6. \)
Podstawiając obliczone liczności zbioru zdarzeń do wzoru na sumę prawdopodobieństwa otrzymujemy:
\( P(A\cup B) = \frac{150}{4096} + \frac{150}{4096} - \frac{6}{1296} = \frac{294}{1296} = \frac{49}{216}.\)
Jeżeli będziemy wykonywali czterokrotny rzut sześcienną kostką, to możemy oczekiwać, że w około \( 23\% \) ogólnej liczby wyników uzyskamy dokładnie dwie dwójki lub dwie piątki.
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 25 mar 2024, 15:36
autor: Lucasso
janusz55 pisze: ↑25 mar 2024, 10:15
Luccasso nie mam tak lotnego umysłu jak Twój i trudno mi odpowiedzieć na podstawie Twoich logicznych rozważań, dlaczego brakuje Ci
\( 6 \) rozwiązań do szczęścia.
Może prześledźmy to zadanie od początku.
Rzucamy kolejno cztery razy uczciwą sześcienną kostką do gry.
Kolejność wykonywanych rzutów wyznacza nam czwórki uporządkowane.
Na przykład czwórka
\( ( 1, 1, 3, 4) \) oznacza że w pierwszym rzucie wypadło 1 oczko w drugim rzucie 1 oczko w trzecim rzucie 3 oczka w czwartym rzucie 4 oczka. Mamy więć cztero-elementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru sześcio-elementowego
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych cztero-krotnego rzutu sześcienną kostką możemy zapisać jako
\( \Omega = \{\omega= (a, b, c, d): \ \ a, b, c, d \in \{1,2,3,4, 5, 6\} \} \)
Jego liczność
\( |\Omega| = W_{6}^{4} = 6^4= 1296.\)
Mamy znaleźć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
\(P( A \cup B) \)
gdzie:
\( A \) - zdarzenie "otrzymano dokładnie dwie dwójki"
\( B \) - zdarzenie " otrzymano dokładnie dwie piątki"
Jak wiemy
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).\)
Obliczamy kolejno liczności zbioru zdarzeń:
\( A, B , A\cap B \)
Zauważmy, że zdarzeń z dokładnie dwiema dwójkami jest tyle samo co zdarzeń z dwiema piątkami, co zdarzeń dwiema jedynkami, ... co zdarzeń z dwiema szóstkami.
\(|A|:\)
Kolejność wyrzucenia dwóch dwójek nie ma znaczenia (aby były tylko dwie dwójki) na pozostałych dwóch miejscach mamy pięcio-elementowe wariacje z powtórzeniami (nie kombinacje, bo elementy mogą się powtarzać), więc
\( |A| = { 4 \choose 2}\cdot 5^2 = 6\cdot 25 = 150.\)
Tyle samo wynosi liczność zbioru
\( B. \)
Powstaje pytanie, jaka jest liczność zbioru
\( A \cap B, \) to znaczy ile jest takich czwórek, w których występują dokładnie dwie dwójki i dokładnie dwie czwórki ?
Tu znowu kolejność nie ma znaczenia, bo mamy mieć dwie dwójki i dwie czwórki w dowolnej kolejności.
Stąd
\( |A\cap B| = {4\choose 2} = \frac{4\cdot 3}{1\cdot 2} = \frac{12}{2}= 6. \)
Podstawiając obliczone liczności zbioru zdarzeń do wzoru na sumę prawdopodobieństwa otrzymujemy:
\( P(A\cup B) = \frac{150}{4096} + \frac{150}{4096} - \frac{6}{1296} = \frac{294}{1296} = \frac{49}{216}.\)
Jeżeli będziemy wykonywali czterokrotny rzut sześcienną kostką, to możemy oczekiwać, że w około
\( 23\% \) ogólnej liczby wyników uzyskamy dokładnie dwie dwójki lub dwie piątki.
Tą metodę rozwiązania zadania jak najbardziej rozumiem , ale nie wiem dlaczego moim sposobem wychodzi 288 takich możliwości a powinno być 294 , jak wydaje mi się , że wszystko jest w porządku rozpisane.
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 25 mar 2024, 15:37
autor: Lucasso
Nie mam pojęcia , czego brakuje , albo co jest źle w mojej metodzie.
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 25 mar 2024, 16:25
autor: Tulio
Lucasso pisze: ↑25 mar 2024, 15:37
Nie mam pojęcia , czego brakuje , albo co jest źle w mojej metodzie.
Napisałeś:
dwie 2 możemy wybrać na 4/2 sposoby co daje z kombinacji 12
Lucasso pisze: ↑24 mar 2024, 22:14
[...]dwie 2 możemy wybrać na 4/2 sposoby co daje z kombinacji 12[...]
Podczas gdy:
\( {4 \choose 2} = 6\)
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 25 mar 2024, 17:21
autor: janusz55
Mylisz kombinację z wariacjami z powtórzeiami.
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
: 25 mar 2024, 19:16
autor: Lucasso
janusz55 pisze: ↑25 mar 2024, 17:21
Mylisz kombinację z wariacjami z powtórzeiami.
Po prostu źle napisałem , w obliczeniach masz przemnożone przez 6 , to jest właśnie z 4/2 kombinacji wynik